Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

j) y ' ' ' - 4 y ' ' + 5 y ' = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y ' ' ' - 4 y ' ' + 5 y ' = 0

Temos a equação característica:

r 3 - 4 r 2 + 5 r = 0

Colocando r em evidência, temos:

r r 2 - 4 r + 5 = 0

Repara que pra esse produto ser verdade r = 0 ou

r 2 - 4 r + 5 = 0

Calculando as raízes dessa equação usando Bhaskara, temos:

r = 4 ± 16 - 20 2 = 4 ± 2 i 2

r = 2 ± i

Assim, temos as raízes:

r 1 = 0 ,     r 2 = 2 + i ,     r 3 = 2 - i

Então, temos duas raízes complexas na forma r = α ± β i , com α = 2 e uma raiz real com α = 0 . Sendo assim, nossa solução é da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Substituindo os valores de r 1 , r 2 e r 3 , temos:

y x = c 1 e 0 x + e 2 x c 2 cos ⁡ ( x ) + c 3 sin ⁡ ( x )

y x = c 1 + e 2 x c 2 cos ⁡ ( x ) + c 3 sin ⁡ ( x )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 + e 2 x c 2 cos ⁡ ( x ) + c 3 sin ⁡ ( x )

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