Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

A solução do problema de valor inicial y ' ' + 4 y = 3 s e n 2 t ,   y 0 = 2 ,   y ' 0 = - 1 ,

É:

  1. - 1 8 s e n 2 t - 3 4 t c o s 2 t + 2 c o s ⁡ ( 2 t )
  2. - 1 8 s e n 2 t + 3 4 t c o s 2 t + 2 c o s ⁡ ( 2 t )
  3. 1 8 s e n 2 t + 3 4 t c o s 2 t + 2 c o s ⁡ ( 2 t )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.

A EDO

y ' ' + 4 y = 3 s e n 2 t

Colocando zero do lado direito temos:

y ' ' + 4 y = 0

Essa é a equação diferencial homogênea associada. Ela tem coeficientes constantes, então vamos supor uma solução do tipo exponencial.

Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:

y t = A e λ t

As derivadas primeira e segundas:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t

E agora precisamos substituir na EDO:

A λ 2 e λ t + 4 A e λ t = 0

Podemos dividir tudo por A e λ t e ficamos com a famosa equação característica:

λ 2 + 4 = 0

As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.

Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.

Passo 2

E a equação característica

λ 2 + 4 = 0

Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = 0 ± - 4 2

λ = ± 2 i

Essas raízes são do tipo λ = a ± b i então temos que as soluções são:

y h = c 1 e a t cos ⁡ b t + c 2 e a t s e n ( b t )

Como a = 0 e b = 2

Então a solução da homogênea é:

y h = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n ( 2 t )

Guardamos essa solução!

Passo 3

Agora a particular!

A equação diferencial particular associada é:

y ' ' + 4 y = 3 s e n 2 t

Como na nossa homogênea tem o mesmo tipo de solução que a função ali do lado direito, vamos supor uma solução do tipo s e n 2 t + c o s ⁡ ( 2 t ) (porque se parece com a função do lado direito, mas leva em consideração tanto seno quanto cosseno) mas precisamos multiplicar por um t para que nossa solução fique diferente da y h que a gente acabou de achar.

y p = A t s e n 2 t + B t c o s ( 2 t )

Bem parecida com a função da não-homogênea associada!

Agora pra saber quem são os coeficientes A e B , vamos derivar essa y p e substituir na equação diferencial (completinha, com a função do outro lado e tudo):

y p = A t s e n 2 t + B t c o s ( 2 t )

Agora derivando uma vez:

y p ' = A s e n 2 t + B c o s 2 t + 2 A t c o s 2 t - 2 B t s e n ( 2 t )

y p ' ' = 2 A c o s 2 t - 2 B s e n 2 t + 2 A c o s 2 t - 4 A t s e n 2 t - 2 B s e n 2 t - 4 B t c o s ( 2 t )

y p ' ' = 4 A c o s 2 t - 4 B s e n 2 t - 4 A t s e n 2 t - 4 B t c o s ( 2 t )

Substituindo na equação diferencial completa:

y ' ' + 4 y = 3 s e n 2 t

4 A c o s 2 t - 4 B s e n 2 t - 4 A t s e n 2 t - 4 B t c o s ( 2 t ) + 4 . A t s e n 2 t + B t c o s ( 2 t ) = 3 s e n 2 t

Agora vamos organizar os termos semelhantes:

cos ⁡ 2 t 4 A + s e n 2 t - 4 B + t c o s 2 t - 4 B + 4 B + t s e n 2 A [ - 4 A + 4 A ] = 3 s e n ( 2 t )

cos ⁡ 2 t 4 A + s e n 2 t - 4 B = 3 s e n ( 2 t )

Então igualando os termos semelhantes dos dois lados temos que:

3   s e n 2 t = - 4 B   s e n ( 2 t )

Então

- 4 B = 3

B = - 3 4

E também:

cos ⁡ 2 t 4 A = 0

Daí

4 A = 0

A = 0

Aí nossa solução particular é:

y p = - 3 4 t c o s ( 2 t )

Passo 4

A solução geral da nossa equação diferencial vai ser a soma da solução da homogênea com a particular.

Juntando essa solução particular com a homogênea do passo 2 temos:

y = y h + y p

y ( x ) = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n ( 2 t ) - 3 4 t c o s ( 2 t )

E o passo final é determinar aquelas constantes ali. Pra isso vamos usar as condições iniciais dadas

y 0 = 2 ,   y ' 0 = - 1

Usando a y 0 = 2 :

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n 0 - 3 4 . 0 . cos ⁡ 0 = 2

c 1 = 2

E aí nossa solução fica

y ( x ) = 2 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n ( 2 t ) - 3 4 t c o s ( 2 t )

Ainda precisamos achar c 1 !

E agora derivando a solução para poder usar a segunda condição inicial:

y ' = - 2 s e n 2 t + 2 c 2 cos ⁡ 2 t - 3 4 cos ⁡ 2 t + 3 4 t s e n ( 2 t )

E agora aplicando y ' 0 = - 1 :

y ' 0 = 2 c 2 - 3 4 = - 1

2 c 2 = - 1 + 3 4 = - 1 4

c 2 = - 1 8

Tranquilo?

Passo 5

E agora nossa solução está bem determinada:

y ( x ) = c 1 cos ⁡ 2 t + c 2 s e n ( 2 t ) - 3 4 t c o s ( 2 t )

Com c 1 = 2 e c 2 = - 1 8 :

y x = 2 cos ⁡ 2 t - 1 8 s e n ( 2 t ) - 3 4 t c o s ( 2 t )

E a alternativa que nos diz isso é a (a). Show!

Espero ter ajudado!

Resposta

( a )

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