Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Sejam y 1 e y 2 soluções das equações

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )   ( 1 )

Em que p ,   q   e   g são funções contínuas em um intervalo I . Então, qualquer combinação linear entre y 1 e y 2 é solução da equação homogênea associada à (1).

Verdadeiro ou falso.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece ser bem complicada, mas vou ajudar você!

O problema deu uma equação diferencial não homogênea

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

E nos disse que y 1 e y 2 são soluções da EQUAÇÃO HOMOGÊNEA ASSOCIADA. Mas, qual é essa equação homogênea? É quando a gente faz g t = 0 ali no lado direito da equação. Aí essa equação diferencial fica:

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Certo?

Se são soluções, então isso PRECISA acontecer:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = 0

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = 0

Beleza?

E nos pergunta se a diferença dessas soluções é solução da equação

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Notem que temos agora um = 0 no lado direito! Isso significa que queremos saber se uma combinação linear dessas soluções é solução da equação diferencial homogênea associada!

Uma combinação linear é quando temos uma soma de funções com coeficientes, assim:

c 1 y 1 + c 2 y 2

Seja qualquer equação diferencial e se o problema nos diz que uma função é solução, você precisa lembrar que se substituirmos essa solução na equação, vai dar certo!

Nesse caso o dar certo é achar um 0 = 0 !

Beleza?

Então, aqui o problema nos diz que y 1 e y 2 são soluções, então elas individualmente satisfazem a equação diferencial. Então para saber se a combinação linear delas também satisfaz, precisamos substituir essa combinação na equação e ver o que dá!

Passo 2

E a equação diferencial:

y ' ' + p t y ' + q t y = 0  

Agora vamos jogar y = c 1 y 1 + c 2 y 2 na equação:

c 1 y 1 + c 2 y 2 ' ' + p t c 1 y 1 + c 2 y 2 ' + q t c 1 y 1 + c 2 y 2 = 0

Você viu em cálculo 1 que a derivada da soma é a soma da derivada:

c 1 y 1 + c 2 y 2 ' = c 1 y 1 ' + c 2 y 2 '

E isso serve para a derivada segunda também!

c 1 y 1 + c 2 y 2 ' ' = c 1 y 1 ' ' + c 2 y 2 ' '

Certo?

Agora vou substituir isso ali na equação:

c 1 y 1 ' ' + c 2 y 2 ' ' + p t c 1 y 1 ' + c 2 y 2 ' + q t c 1 y 1 + c 2 y 2 = 0

Passo 3

Agora vamos reorganizar esses termos pra que y 1 (e suas derivadas) fiquem pertinho, e fazer o mesmo com a y 2 :

c 1 y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 + c 2 y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = 0

Mas, pera aí! Volta lá no passo 1 comigo. A gente tinha que as soluções individuais eram soluções da equação diferencial não homogênea:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = 0

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = 0

Sendo assim, podemos substituir y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 por 0 e y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 também por 0 :

c 1 . 0 + c 2 . 0 = 0

0 = 0

Opa! Encontramos uma igualdade matemática! Isso significa que, uma vez que as funções y 1 e y 2 sejam soluções da equação diferencial não homogênea, a combinação linear delas c 1 y 1 + c 2 y 2 vai ser solução da equação diferencial HOMOGÊNEA associada!

Então a afirmativa está correta! Marcamos verdadeiro.

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

V e r d a d e i r o

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