Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

A solução geral do problema de valor inicial

y ' ' - y ' + 1 4 y = 0 ,

y 0 = 2 ,   y ' = 0 = 1 3

É c 1 e r t + c 2 t e r t , onde

r =

c 1 =

c 2 =

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:

y = A e λ t

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

y ' ' - y ' + 1 4 y = 0

A λ 2 e λ t - A λ e λ t + 1 4 A e λ t = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ t ≠ 0 para qualquer t , então podemos dividir toda essa equação por A e λ t e ficamos com a equação característica:

λ 2 - λ + 1 4 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 - λ + 1 4 = 0

E agora podemos aplicar Bhaskara para achar as raízes:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( - 1 ) ± 1 2 - 4.1 . ( 1 4 ) 2.1 = 1 ± 0 2

E daqui saem as duas raízes:

r 1 = r 2 = r = 1 2 = 0,5

Como temos duas raízes iguais, a solução fica:

y = c 1 e t / 2 + c 2 t e t / 2

Agora precisamos determinar os coeficientes! Precisamos das condições iniciais =)

Passo 3

O problema nos diz que:

y 0 = 2 ,   y ' = 0 = 1 3

Então vamos aplicar essas condições na função solução e na derivada dela:

y = c 1 e t / 2 + c 2 t e t / 2

y 0 = c 1 = 2

E na derivada:

y ' = 1 2 c 1 e t 2 + c 2 e t 2   + t 2 e t 2  

E em t = 0 :

y ' 0 = 1 2 c 1 + c 2 = 1 3

Daí temos o seguinte sistema:

1 : c 1 = 2 2 : 1 2 c 1 + c 2 = 1 3

Já temos c 1 = 2 , agora usando a (2) vamos achar c 2 :

1 2 c 1 + c 2 = 1 3

1 + c 2 = 1 3

c 2 = 1 3 - 1 = - 2 3 = - 0,66

Pronto! Agora já sabemos as constantes!

E o resumo das respostas é:

r = 0,5

c 1 = 2 ,   c 2 = - 0,66

Então é isso pessoal! Terminamos!

Resposta

r = 0,5

c 1 = 2 ,   c 2 = - 0,66

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