Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

g) y ( 4 ) + 16 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y 4 + 16 y = 0

Temos a equação característica:

r 4 + 16 = 0

Fatorando a equação, temos:

r 2 - 4 r 2 + 4 = 0

r - 2 r + 2 r 2 + 4 = 0

De r 2 + 4 = 0 , temos:

r = ± 2 i

Que são duas raízes complexas da forma r = α ± β i .

De r - 2 r + 2 = 0 , temos:

r - 2 = 0 → r = 2

r + 2 = 0 → r = - 2

Então, nossas raízes são r 1 = 2 , r 2 = - 2 , r 3 = 2 i e r 4 = - 2 i . Repare que nós temos duas raízes reais e distintas, que nos dão a solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

E duas raízes complexas, que nos dão a solução da forma:

y x = e α x c 3 cos ⁡ ( β x ) + c 4 sin ⁡ ( β x )

Juntando tudo, nós temos nossa solução geral:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + e α x c 3 cos ⁡ ( β x ) + c 4 sin ⁡ ( β x )

Substituindo as raízes:

y x = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x + c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 sin ⁡ 2 x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e 2 x + c 2 e - 2 x + c 3 cos ⁡ 2 x + c 4 sin ⁡ 2 x

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