Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Sejam Y 1 ( t ) e Y 2 ( t ) soluções particulares das equações y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 ( t ) e y ' ' + p t y ' + q t y = g 2 ( t ) , respectivamente. Então, Y 1 t + Y 2 ( t ) é uma solução de y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t + g 2 ( t ) .

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Para uma função Y ( t ) ser solução particular de uma equação diferencial, ela deve satisfazer essa equação diferencial. Isso significa que, ao derivarmos essa função e substituirmos na equação diferencial completa (com uma função no lado direito da igualdade) isso será uma verdade matemática.

Então se Y 1 ( t ) é solução particular, então, da equação diferencial dada:

y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t

Derivando e substituindo temos

Y 1 ' ' + p t Y 1 ' + q t Y 1 = g 1 t     ( c o n d i ç ã o   1 )

Seja qual for a expressão de g 1 ( t ) , a função Y 1 ( t ) tem que satisfazer essa equação.

E isso também se aplica para a segunda solução Y 2 !

Se ela for solução da equação diferencial

y ' ' + p t y ' + q t y = g 2 t

Isso quer dizer que

Y 2 ' ' + p t Y 2 ' + q t Y 2 = g 2 t     ( c o n d i ç ã o   2 )

Beleza até aqui?

Guarda essas duas condições na manga! Elas serão úteis lá adiante!

Passo 2

O problema pergunta se y = Y 1 t + Y 2 ( t ) é solução para a equação diferencial

y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t + g 2 ( t )

Bom, como já comentei, mas não custa nada relembrar, para uma função (ou combinação e funções) ser solução de uma equação diferencial, ela deve satisfazer a equação diferencial. Isto é: pegar essa candidata a solução, derivar (quantas vezes forem preciso, aqui serão necessárias até a derivada segunda) e substituir tudo na equação diferencial se encontrarmos uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ), então essa candidata é solução da equação diferencial!

Então é isso que vou fazer a seguir: verificar se a candidata y = Y 1 t + Y 2 ( t ) é solução da equação diferencial y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t + g 2 ( t ) .

Passo 3

Nossa candidata é:

y = Y 1 t + Y 2 ( t )

Agora precisamos derivar isso, duas vezes!

Você viu em cálculo 1 que a derivada da soma é a soma da derivada:

y ' = Y 1 t + Y 2 ( t ) ' = Y 1 ' t + Y 2 ' ( t )

E isso serve para a derivada segunda também!

Y 1 t + Y 2 ( t ) ' ' = Y 1   ' ' t + Y 2 ' ' ( t )

Certo?

Agora vou substituir isso na equação diferencial que o problema pediu para testar a candidata a solução:

y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t + g 2 ( t )

Y 1 ' ' t + Y 2 ' ' t + p t . Y 1 ' t + Y 2 ' t + q t . Y 1 t + Y 2 t = g 1 t + g 2 ( t )      

Tranquilo?

Passo 4

Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em Y 1 ( t ) (e suas derivadas) e tudo que for em Y 2 ( t ) (e suas derivadas também), porque assim a gente pode usar o fato de que essas funções são soluções e podemos usar as igualdades do passo 1:

Y 1 ' ' + p t Y 1 ' + q t Y 1 + Y 2 ' ' + p t Y 2 ' + q t Y 2 = g 1 t + g 2 ( t )     ( g u a r d a   i s s o ! )

E agora vamos voltar lá para as condições que pedi para você guardar do passo 1!

A primeira condição nos dizia que:

Y 1 ' ' + p t Y 1 ' + q t Y 1 = g 1 t     ( c o n d i ç ã o   1 )

Então podemos substituir aquele primeiro colchete à esquerda por g 1 ( t ) !

E a segunda condição? Ah, ela nos dizia que:

Y 2 ' ' + p t Y 2 ' + q t Y 2 = g 2 t     ( c o n d i ç ã o   2 )

Então o outro colchete do lado esquerdo pode ser substituído por g 2 t !

Sacou? Quando as funções são individualmente soluções de uma determinada equação diferencial, podemos sempre reorganizar os termos para encontrarmos dentro de um outra equação diferencial, a equação diferencial que temos a solução.

Sendo assim, podemos usar essas igualdades na nossa equação “ ( g u a r d a   i s s o ) ” do início do passo 5 , saca só:

Y 1 ' ' + p t Y 1 ' + q t Y 1 ⏝ = g 1 t + Y 2 ' ' + p t Y 2 ' + q t Y 2 ⏝ g 2 ( t ) = g 1 t + g 2 ( t )    

g 1 t + g 2 t = g 1 t + g 2 ( t )

0 = 0

Olha só! Encontramos uma verdade matemática! Isso quer dizer que a nossa candidata a solução (que é a soma de outras duas soluções)

y = Y 1 t + Y 2 ( t )

É solução da nossa equação diferencial!

Sendo assim, a afirmativa está correta.

E a opção certa é: verdadeiro

Até a próxima!

Resposta

v e r d a d e i r o

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