Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

2) Resolva a equação diferencial a seguir, encontrando sua solução geral.

y ' ' + 4 y ' - y = 0

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada uma EDO y ' ' + 4 y ' - y = 0 e nosso objetivo é obter a solução geral dessa EDO.

Parece complicado? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a EDO para saber qual método podemos utilizar para obter essa solução.

A EDO é dada por

y ' ' + 4 y ' - y = 0

Dessa forma, podemos perceber que se trata de uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes, portanto para obter a solução dessa EDO temos que seguir alguns passos...

Primeiro fazemos y t = e r t e consequentemente y ' = r e r t e y ' ' = r 2 e r t .

Assim, substituindo na EDO podemos obter os valores para r .

Veja só! 😉

Passo 2

Substituindo y = e r t , y ' = r e r t e y ' ' = r 2 e r t , temos

y ' ' + 4 y ' - y = 0 → r 2 e r t + 4 r e r t - e r t = 0

e r t r 2 + 4 r - 1 = 0

Não é possível que e r t seja igual a 0 para satisfazer a equação, então o que resta é

r 2 + 4 r - 1 = 0

Tirando as raízes dessa equação, chegamos em

r = - 4 ± 4 2 - 4 · 1 · - 1 2 · 1

r 1 = - 2 + 5

r 2 = - 2 - 5

Dessa forma, a solução geral para nossa EDO é dada por

y t = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

Ou seja

y t = C 1 e - 2 - 5 t + C 2 e - 2 + 5 t

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

y t = C 1 e - 2 - 5 t + C 2 e - 2 + 5 t

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