Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

A solução geral do problema de valor inicial

y ' ' + y = 0 ,

y π 2 = 2 ,   y ' = π 2 = 2

É y = e a t ( c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n ( b t ) ) , onde

a =

b =

c 1 =

c 2 =

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos começar?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:

y = A e λ t

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

y ' ' + y = 0

A λ 2 e λ t + A e λ t = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ t ≠ 0 para qualquer t , então podemos dividir toda essa equação por A e λ t e ficamos com a equação característica:

λ 2 + 1 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 + 1 = 0

São raízes imaginárias:

λ = ± 1 i

E aí a solução fica uma combinação de senos e cossenos com exponencial. Como relembrar é viver, vamos rever como é a solução mais geral. Se tivermos raízes imaginárias do tipo:

λ = a ± b i

Então a solução é:

y = c 1 e a t c o s b t + c 2 e a t s e n ( b t )

No nosso caso temos que a = 0 e b = 1 , então a solução fica:

y = c 1 c o s t + c 2 s e n ⁡ ( t )

Agora precisamos determinar os coeficientes! Precisamos das condições iniciais =)

Passo 3

O problema nos diz que:

y π 2 = 0 ,   y ' = π 2 = 2

Então vamos aplicar essas condições na função solução e na derivada dela:

y = c 1 c o s t + c 2 s e n ⁡ ( t )

y π 2 = c 2 = 0

E na derivada:

y ' = - c 1 s e n t + c 2 c o s ( t )  

E em t = 0 :

y ' π 2 = - c 1 = 2

Daí já temos as constantes:

c 1 = - 2 ,   c 2 = 0

Pronto! Agora já sabemos as constantes!

E o resumo das respostas é:

a = 0

b = 1

c 1 = - 2

c 2 = 0

Então é isso pessoal! Terminamos!

Resposta

a = 0

b = 1

c 1 = - 2

c 2 = 0

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