Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação t y ' ' - 1 + t y ' + y = t 3 ln ⁡ t   ,   t > 0 .

  1. y 1 t = 1 + t ,   y 2 t = e t
  2. y 1 t = 1 - t ,   y 2 t = e t
  3. y 1 t = 1 + t ,   y 2 t = e - t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu uma equação diferencial

t y ' ' - 1 + t y ' + y = t 3 ln ⁡ t

E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.

Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: é quando a gente coloca zero do lado direito da equação diferencial!

t y ' ' - 1 + t y ' + y = 0

Isso mesmo! Sumimos com aquele t 3 ln ⁡ t feioso!

E agora precisamos descobrir qual par de funções y 1 e y 2 são soluções pra essa equação.

Bom, pra gente descobrir isso é bem tranquilo: uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução y onde tem y na equação, a derivada dela y '   na equação e a derivada segunda y ' ' também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ou número =   número), então essa função é sim solução da equação diferencial.

Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.

Passo 2

Vamos começar testando o primeiro par:

y 1 t = 1 + t ,   y 2 t = e t

Pra testar, vamos testar cada função separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções y 1 e y 2 precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.

Começando pela y 1 = 1 + t

A função:

y = 1 + t

A primeira derivada:

y ' = 1

E a segunda derivada:

y ' ' = 0

A equação é

t y ' ' - 1 + t y ' + y = 0

Agora é só substituir:

t . 0 - 1 + t . 1 + ( 1 + t ) = 0

- 1 - t + 1 + t = 0

0 = 0

Oba! Encontramos uma igualdade matemática!

a função y 1 = 1 + t é solução da equação diferencial! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:

- 2 = 0

Ou ainda

t - 3 = 0

Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.

Mas no nosso caso y 1 = 1 + t é sim solução e tá tudo certo até agora.

Precisamos testar a y 2 .

Passo 3

Agora a y 2 = e t

A derivada primeira

y ' = e t

E a segunda

y ' ' = e t

Agora é só substituir na equação diferencial

t y ' ' - 1 + t y ' + y = 0

t .   e t - 1 + t e t + e t = 0

t e t - e t - t e t + e t = 0

0 = 0

Uhu! Encontramos de novo outra igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (a) são soluções dessa equação diferencial!

Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)

Beleza? Espero ter te ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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