Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Existe uma constante A de forma que a equação y ' ' - 2 y ' + 3 y = t e t possui uma solução da forma ( A t + B ) e t

Verdadeiro ou falso?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.

A EDO

y ' ' - 2 y ' + 3 y = 0

Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:

y t = A e λ t

As derivadas primeira e segundas:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t

E agora precisamos substituir na EDO:

A λ 2 e λ t - 2 A λ e λ t + 3 A e λ t = 0

Podemos dividir tudo por A e λ t e ficamos com a famosa equação característica:

λ 2 - 2 λ + 3 = 0

As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.

Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.

Passo 2

E a equação característica

λ 2 - 2 λ + 3 = 0

Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4.1 . 3 2 = 2 ± 2 2 i 2

λ = 1 ± 2 i

Então a solução da homogênea é:

y h = c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n ( 2 t )

Passo 3

Agora a particular!

A equação diferencial particular associada é:

y ' ' - 2 y ' + 3 y = t e t

Como na nossa homogênea não tem nada com t e t , podemos chutar uma solução particular do tipo:

( A t + B ) e t

Bem parecida com a função da não-homogênea associada!

Caso nossa solução da homogênea desse alguma coisa com exponencial multiplicando com t , aí sim precisaríamos multiplicar nossa solução por um polinômio de ordem superior - A t 2 + B t + C por exemplo - para remover a dependência linear das soluções. Mas isso não aconteceu aqui!

Então por isso a afirmativa é verdadeira.

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

v e r d a d e i r a

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