Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Existe uma constante A de forma que a equação y ' ' - 2 y ' + 3 y = c o s ⁡ ( 2 t ) possui uma solução da forma A c o s ( 2 t ) .

Verdadeiro ou falso?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada!

A EDO

y ' ' - 2 y ' + 3 y = 0

E a equação característica

λ 2 - 2 λ + 3 = 0

Agora pra achar as raízes vamos usar bháskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4 . 1.3 2 = 2 ± 2 2 i 2

λ = 1 ± 2 i

Então a solução da homogênea é:

y h = c 1 e t cos ⁡ 2 t + c 2 e t s e n ( 2 t )

Passo 2

Agora a particular! Como na nossa homogênea não tem nada com seno ou cosseno de 2 t , podemos chutar uma solução particular do tipo:

A c o s 2 t + B s e n ( 2 t )

Não podemos garantir que existe A tal que seja solução, porque vai depender de B também. O cosseno pode nem estar na solução! O chute tem que ser sempre completo! Se liga nisso!

Então por isso a afirmativa é falsa.

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

f a l s a

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