Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 5 ln ⁡ x 2 + 3 ,   x > 0 .

  1. y 1 x = x 2 ,   y 2 x = x 2 ln ⁡ x
  2. y 1 x = x 2 ,   y 2 x = ln ⁡ x
  3. y 1 x = x 2 ,   y 2 x = x ln ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu uma equação diferencial

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = x 5 ln ⁡ x 2 + 3

E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.

Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: é quando a gente coloca zero do lado direito da equação diferencial!

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

Isso mesmo! Sumimos com aquele x 5 ln ⁡ x 2 + 3 feioso!

E agora precisamos descobrir qual par de funções y 1 e y 2 são soluções pra essa equação.

Bom, pra gente descobrir isso é bem tranquilo: uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução y onde tem y na equação, a derivada dela y '   na equação e a derivada segunda y ' ' também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ou número =   número), então essa função é sim solução da equação diferencial.

Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.

Passo 2

Vamos começar testando o primeiro par:

y 1 x = x 2 ,   y 2 x = x 2 ln ⁡ x

Pra testar, vamos testar cada função separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções y 1 e y 2 precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.

Começando pela y 1 = x 2

A função:

y = x 2

A primeira derivada:

y ' = 2 x

E a segunda derivada:

y ' ' = 2

A equação é

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

Agora é só substituir:

x 2 . 2 - 3 x 2 x + 4 x 2 = 0

2 x 2 - 6 x 2 + 4 x 2 = 0

0 = 0

Oba! Encontramos uma igualdade matemática!

a função y 1 = x 2 é solução da equação diferencial! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:

- 6 = 0

Ou ainda

x - 3 = 0

Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.

Mas no nosso caso y 1 = x 2 é sim solução e tá tudo certo até agora.

Precisamos testar a y 2 .

Passo 3

Agora a y 2 = x 2 l n x  

A derivada primeira

y ' = 2 x ln ⁡ x   + x

E a segunda

y ' ' = 2 ln ⁡ x + 3

Agora é só substituir na equação diferencial

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

x 2 2 ln ⁡ x + 3 - 3 x 2 x ln ⁡ x   + x + 4 ( x 2 ln ⁡ x   ) = 0

2 x 2 ln ⁡ x + 3 x 2 - 6 x 2 ln ⁡ x   - 6 x 2 + 4 x 2 ln ⁡ x   = 0

0 = 0

Uhu! Encontramos de novo outra igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (a) são soluções dessa equação diferencial!

Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)

Beleza? Espero ter te ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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