Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

k) y ' ' ' - 2 y ' ' = 3 x 2 - 2 x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO não homogênea de terceira ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Pra construir nossa solução geral, nós vamos precisar de uma solução pra EDO homogênea, fazendo y ' ' ' - 2 y ' ' = 0 , e uma solução particular que vai ter o mesmo formato da função que tá no lado direito da equação ( 3 x 2 - 2 x + 1 ).

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem tamb��m podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução da parte homogênea é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a EDO homogênea:

y ' ' ' - 2 y ' ' = 0

Temos a equação característica:

r 3 - 2 r 2 = 0

Colocando r 2 em evidência:

r 2 r - 2 = 0

Pra que esse produto seja igual a zero, r 2 = 0 ou r - 2 = 0 . Daí, temos as raízes:

r 1 = 2

r 2 = r 3 = 0

Passo 3

Repare que nós temos uma raiz real, que nos fornece a solução da forma c 1 e r 1 x , e duas raízes iguais, que nos remete a solução da forma c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x .

Juntando tudo, temos nossa solução da parte homogênea:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x

Substituindo as nossas raízes:

y h x = c 1 e 2 x + c 2 + c 3 x

Passo 4

Pra encontrar nossa solução particular, vamos olhar pra forma da função do lado direito da equação, que é 3 x 2 - 2 x + 1 . Apesar da gente ter uma equação polinomial do segundo grau, nós vamos usar um polinômio de quarto grau pra construir nossa solução particular. Isso porque, nossa derivada de menor ordem é de segundo grau, então se a gente usasse um polinômio de segundo grau, ele seria derivado e perderíamos nosso x 2 .

Assim, vamos ter:

y p = A x 4 + B x 3 + C x 2 + D x + E

Derivando nossa equação, temos:

y p ' = 4 A x 3 + 3 B x 2 + 2 C x + D

Vamos derivar mais duas vezes:

y p ' ' = 12 A x 2 + 6 B x + 2 C

y p ' ' ' = 24 A x + 6 B

Substituindo y p ' ' ' e y p ' ' na equação y ' ' ' - 2 y ' ' = 3 x 2 - 2 x + 1 , temos:

24 A x + 6 B - 2 12 A x 2 + 6 B x + 2 C = 3 x 2 - 2 x + 1

- 24 A x 2 + 24 A x - 12 B x + 6 B - 4 C = 3 x 2 - 2 x + 1

Vamos igualar os termos de mesma ordem:

- 24 A = 3

24 A - 12 B = - 2

6 B - 4 C = 1

Da primeira equação, temos:

A = - 3 24 → A = - 1 8

Substituindo na segunda equação:

24 - 1 8 - 12 B = - 2

B = - 1 12

Substituindo B na terceira equação:

6 B - 4 C = 1

6 - 1 12 - 4 C = 1 → C = - 3 8

Substituindo todos os coeficientes em y p , temos nossa solução particular:

y p = - x 4 8 - x 3 12 - 3 x 2 8

Juntando a solução homogênea com a solução particular, temos nossa solução geral:

y x = c 1 e 2 x + c 2 + c 3 x - x 4 8 - x 3 12 - 3 x 2 8

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e 2 x + c 2 + c 3 x - x 4 8 - x 3 12 - 3 x 2 8

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