Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Resolva as EDO de ordem maior a seguir

y ' ' '   + 3 y ' ' + 3 y ' + y = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de ordem maior. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:

a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + . . . + a 0 y + b = 0

onde y = y ( t )

A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.

O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.

a n r n + a n - 1 r n - 1 + . . . + a 0 = 0

Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência n com n-ésima derivada, e assim por diante.

Agora achamos as raízes. E o que fazemos depois de encontrar as raízes? Bem, para cada raiz real distinta teremos uma solução geral da forma

A i e x i t

com A i ∈ R

Se tivermos raízes iguais, x = x 0 = x 1 = ⋯ = x n , teremos uma solução da forma

A 0 e x t + A 1 t e x t + A 2 t 2 e x t , ⋯ ,   A n t n e x t

com A i ´ s ∈ R

Se tivermos raízes complexas (lembrando que elas sempre vêm aos pares), então uma solução da EDO homogênea é:

x 1   = v + i w

x 2   = v - i w

e v x ( A c o s ( w x ) + B s i n ( w x ) )

com A , B ∈ R

E como será a solução geral? Será a soma de todas essas soluções que obtemos. Bacana, né?

Deu para revisar? Show!!!!

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

y ' ' '   + 3 y ' ' + 3 y ' + y = 0

Vamos calcular o polinômio característico. Pela nossa revisão ele é

r 3   + 3 r 2 + 3 r + 1 = 0

Vamos obter suas raízes. Esse é um produto notável, temos que

r 3   + 3 r 2 + 3 r + 1 = ( r + 1 ) 3

Ou seja,

( r + 1 ) 3 = 0

⇔ r = - 1

Então temos 3 raízes iguais. Logo, utilizando a nossa revisão, a solução geral da EDO é:

A 0 e x t + A 1 t e t + A 2 t 2 e x t

como a raiz é - 1 , então x = - 1 . Substituindo

y ( t ) = A 0 e - t + A 1 t e - t + A 2 t 2 e - t

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

y ( t ) = A 0 e - t + A 1 t e - t + A 2 t 2 e - t

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