Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Seja Y ( t ) uma solução particular da equação y ' ' + p t y ' + q t y = g t   1 . Seja W ( t ) uma solução particular da equação homogênea associada à (1). Então, Y t - W ( t ) é solução de (1).

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Para uma função Y ( t ) ser solução particular de uma equação diferencial, ela deve satisfazer essa equação diferencial. Isso significa que, ao derivarmos essa função e substituirmos na equação diferencial completa (com uma função no lado direito da igualdade) isso será uma verdade matemática.

Então se Y ( t ) é solução particular, então, da equação diferencial dada:

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

Derivando e substituindo temos

Y ' ' + p t Y ' + q t Y = g t  

Seja qual for a expressão de g ( t ) , a função Y ( t ) tem que satisfazer essa equação.

Passo 2

Isso se aplica também a uma solução de uma equação diferencial homogênea. Mas aqui temos um detalhe: o lado direito da equação, que antes tinha um g ( t ) , agora tem 0 ! Uma equação diferencial homogênea associada a uma equação diferencial é aquela que é igual do lado esquerdo, com as mesmas funções p ( t ) e q ( t ) , mas no lado direito temos um = 0 .

No nosso caso a equação diferencial tem a forma:

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

E fazendo o lado direito ser igual a zero, temos a equação diferencial homogênea associada:

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Beleza?

Então se W ( t ) é solução da equação diferencial homogênea associada, então temos que essa função deve satisfazer a equação homogênea associada:

W ' ' + p t W ' + q t W = 0

Passo 3

O problema pergunta se Y t - W ( t ) é solução para a equação diferencial

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

Bom, como já comentei, mas não custa nada relembrar, para uma função (ou combinação e funções) ser solução de uma equação diferencial, ela deve satisfazer a equação diferencial. Isto é: pegar essa candidata a solução, derivar (quantas vezes forem preciso, aqui serão necessárias até a derivada segunda) e substituir tudo na equação diferencial se encontrarmos uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ), então essa candidata é solução da equação diferencial!

Então é isso que vou fazer a seguir: verificar se a candidata y = Y t - W ( t ) é solução da equação y ' ' + p t y ' + q t y = g t .

Passo 4

Nossa candidata é:

y = Y t - W ( t )

Agora precisamos derivar isso, duas vezes!

Você viu em cálculo 1 que a derivada da diferença é a diferença da derivada:

y ' = Y t - W ( t ) ' = Y ' t - W ' ( t )

E isso serve para a derivada segunda também!

Y t - W ( t ) ' ' = Y ' ' ( t ) - W ' ' ( t )

Certo?

Agora vou substituir isso na equação diferencial:

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

Y ' ' t - W ' ' t + p t . Y ' t - W ' t + q t . Y t - W t = g t      

Tranquilo?

Passo 5

Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em Y ( t ) (e suas derivadas) e tudo que for em W ( t ) (e suas derivadas também):

Y ' ' + p t Y ' + q t Y - W ' ' + p t W ' + q t W = g t     ( g u a r d a   i s s o ! )

E agora vamos voltar lá para o passo 1: o nosso problema começou dizendo que Y ( t ) era solução da equação diferencial dada, então concluímos que

Y ' ' + p t Y ' + q t Y = g t  

Era verdade, certo?

E o problema também falou que W ( t ) era solução da equação diferencial da homogênea associada, então concluímos isso aqui também (lá do passo 2):

W ' ' + p t W ' + q t W = 0

Sendo assim, podemos usar essas igualdades na nossa equação “ ( g u a r d a   i s s o ) ” do início do passo 5 , saca só:

Y ' ' + p t Y ' + q t Y ⏝ = g t - W ' ' + p t W ' + q t W ⏝ = 0 = g t    

g t + 0 = g ( t )

g t - g t = 0

0 = 0

Olha só! Encontramos uma verdade matemática! Isso quer dizer que a nossa candidata a solução (que é a diferença de outras duas soluções)

y = Y t - W ( t )

É solução da nossa equação diferencial!

Sendo assim, a afirmativa está correta.

E a opção certa é: verdadeiro

Até a próxima!

Resposta

v e r d a d e i r o

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