Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Resolva as EDO de ordem maior a seguir

y ' ' '   - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de ordem maior. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:

a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + . . . + a 0 y + b = 0

onde y = y ( t )

A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.

O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.

a n r n + a n - 1 r n - 1 + . . . + a 0 = 0

Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência n com n-ésima derivada, e assim por diante.

Agora achamos as raízes. E o que fazemos depois de encontrar as raízes? Bem, para cada raiz real distinta teremos uma solução geral da forma

A i e x i t

com A i ∈ R

Se tivermos raízes iguais, x = x 0 = x 1 = ⋯ = x n , teremos uma solução da forma

A 0 e x t + A 1 t e x t + A 2 t 2 e x t , ⋯ ,   A n t n e x t

com A i ´ s ∈ R

Se tivermos raízes complexas (lembrando que elas sempre vêm aos pares), então uma solução da EDO homogênea é:

x 1   = v + i w

x 2   = v - i w

e v x ( A c o s ( w x ) + B s i n ( w x ) )

com A , B ∈ R

E como será a solução geral? Será a soma de todas essas soluções que obtemos. Bacana, né?

Deu para revisar? Show!!!!

MAS PERA AE!!!!! NÓS QUEREMOS A SOLUÇÃO DE

y ' ' '   - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t

E essa não é uma EDO homogênea. Então o que fazemos??? Ora é bem simples. Primeiro calculamos a solução da EDO homogênea e depois somamos com uma solução particular da nossa EDO. E adivinha como encontramos a solução particular, muitas vezes é na base do chute mesmo. kkkkkk

Então vamos nessa!!!!

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

y ' ' '   - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t

Vamos calcular o polinômio característico. Pela nossa revisão ele é

r 3   - 2 r 2 - r + 2

Vamos obter suas raízes.

r 3   - 2 r 2 - r + 2 = 0

⇒ r 3   - 2 r 2 - r + 2 = ( r + 1 ) ( r - 2 ) ( r - 1 )

Ou seja, suas raízes são:

r = 2 ,   o u   r = 1 ,   o u   r = - 1

Então temos 3 raízes distintas. E para cada uma delas temos uma solução, mas como a solução geral é a soma destas, iremos fazer isso em um passo só. Logo, utilizando a nossa revisão, a solução homogênea da EDO é:

A 0 e x 0 t + A 1 e x 1 t + A 2 e x 2 t

como as raízes são - 1,2 , 1 , então x 0 = - 1 , x 1 = 2 , x 2 = 1 (lembrando que a ordem não importa). Substituindo, temos

y ( t ) = A 0 e - t + A 1 e 2 t + A 2 e t

Mas essa é a nossa solução da EDO homogênea. Precisamos agora de uma solução particular para

y ' ' '   - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t

E aí? Vamos chutar algo bem simples. Vamos ver se y ( t ) = C e 4 t é uma solução particular. Substituindo na EDO

( C e 4 t ) ' ' '   - 2 ( C e 4 t ) ' ' - ( C e 4 t ) ' + 2 ( C e 4 t ) =   4 3 C e 4 t - 2 C * 4 2 e 4 t - C 4 e 4 t + 2 C e 4 t

= C e 4 t ( 4 3 - 2 * 4 2 - 4 + 2 )

= C e 4 t ( 30 )

Ora mas

C e 4 t ( 30 ) = e 4 t

⇔ C = 1 / 30

Olha só!!!Achamos uma solução particular. Que é

y ( t ) = e 4 t / 30

Então a solução geral é a da equação homogênea mais a particular. Que nesse caso é:

y ( t ) = A 0 e - t + A 1 e 2 t + A 2 e t + e 4 t / 30

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

y ( t ) = A 0 e - t + A 1 e 2 t + A 2 e t + e 4 t / 30

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