Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.

b) y ' ' + 2 y ' - 3 y = 0 ; y 1 t = e - 3 t ; y 2 t = e t

Passo 1

Fala, galera! Vamos responder essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de segunda ordem e uma função y ( t ) , e pediu pra gente verificar se essa função é solução da EDO. Lembra como é que faz isso?

Nós precisamos derivar a nossa função dua vezes, substituir na EDO e ver se isso é igual a zero. Se for, ela será uma solução da equação diferencial.

Vamos lá!?

Passo 2

Derivando y t = e - 3 t , temos:

y ' t = - 3 e - 3 t

Derivando novamente usando a regra da cadeia (deriva a função de fora aplicada na função de dentro e multiplica pela derivada da função de dentro), temos:

y ' ' t = - 3 - 3 e - 3 t

y ' ' t = 9 e - 3 t

Substituindo na EDO y ' ' + 2 y ' - 3 y = 0 , temos:

9 e - 3 t + 2 - 3 e - 3 t - 3 e - 3 t = 0

Multiplicando termo a termo:

9 e - 3 t - 6 e - 3 t - 3 e - 3 t = 0

9 e - 3 t - 9 e - 3 t = 0

Como o nosso resultado é zero, a função é solução da EDO.

Passo 3

Agora vamos testar a função:

y 2 t = e t

Derivando:

y 2 ' t = e t

Derivando novamente, temos:

y 2 ' ' t = e t

Substituindo na EDO y ' ' + 2 y ' - 3 y = 0 :

e t + 2 e t - 3 e t = 0

e t - e t = 0

Portanto, y 2 ( t ) também é solução da EDO.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S ã o   s o l u ç õ e s   d a   E D O

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