Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

Ver Teoria

Enunciado

Assinale qual dos seguintes pares de funções são soluções da equação homogênea associada à equação 1 - t y ' ' + t y ' - y = s e n t - 2 e - t ,   0 < t < 1 .

  1. y 1 x = t ,   y 2 x = e - t
  2. y 1 x = 1 - t ,   y 2 x = e t
  3. y 1 x = t ,   y 2 x = e t

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu uma equação diferencial

1 - t y ' ' + t y ' - y = s e n t - 2 e - t

E mandou assinalar qual dos pares de funções dadas são soluções da equação HOMOGÊNEA ASSOCIADA.

Vamos primeiro ver quem é essa equação homogênea: é quando a gente coloca zero do lado direito da equação diferencial!

1 - t y ' ' + t y ' - y = 0

Isso mesmo! Sumimos com aquele s e n t - 2 e - t feioso!

E agora precisamos descobrir qual par de funções y 1 e y 2 são soluções pra essa equação.

Bom, pra gente descobrir isso é bem tranquilo: uma solução de uma equação diferencial é aquela função que satisfaz essa equação diferencial. Ou seja, se a gente substituir a solução y onde tem y na equação, a derivada dela y '   na equação e a derivada segunda y ' ' também na equação, e der uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ou número =   número), então essa função é sim solução da equação diferencial.

Então é chute mesmo! É ir testando cada uma das funções dadas até achar a alternativa na qual as duas funções dadas são soluções.

Passo 2

Vamos começar testando o último par:

y 1 t = t ,   y 2 t = e t

Pra testar, vamos testar cada função separadamente. Para que esse par seja o escolhido, as duas funções y 1 e y 2 precisam ser solução, ou seja, quando derivarmos e substituirmos, precisamos que as duas nos forneçam uma igualdade matemática.

Começando pela y 1 = t

A função:

y = t

A primeira derivada:

y ' = 1

E a segunda derivada:

y ' ' = 0

A equação é

1 - t y ' ' + t y ' - y = 0

Agora é só substituir:

1 - t . 0 + t . 1 - ( t ) = 0

t - t = 0

0 = 0

Oba! Encontramos uma igualdade matemática!

a função y 1 = t é solução da equação diferencial! Se ela não fosse, a gente encontraria algo do tipo:

- 6 = 0

Ou ainda

t - 3 = 0

Se a gente encontrasse qualquer coisa assim, a função não seria solução.

Mas no nosso caso y 1 = t é sim solução e tá tudo certo até agora.

Precisamos testar a y 2 .

Passo 3

Agora a y 2 = e t

A derivada primeira

y ' = e t

E a segunda

y ' ' = e t

Agora é só substituir na equação diferencial

1 - t y ' ' + t y ' - y = 0

1 - t e t + t e t - e t = 0

e t - t e t + t e t - e t = 0

0 = 0

Uhu! Encontramos de novo outra igualdade matemática! Portanto as duas soluções dadas na letra (c) são soluções dessa equação diferencial!

Você pode fazer como exercício testar as outras e verificar que não são soluções =)

Beleza? Espero ter te ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( c )

Exercícios de Livros Relacionados

20. y^((4)) - 8 y^' = 0
21. y^((8)) + 8 y^((4)) + 16 y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞ ?29. y ' ' ' + y ' = 0 ;y 0 = 0 , y ' 0 = 1 ,y ' '
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. y ' ' ' + y ' ' - 2 y = 0
3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:a) f ' = 0 ; b) f n = 0 c) f ' = f d) f ' = a fa∈ R .