Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

Ver Teoria

Enunciado

A solução geral do problema de valor inicial

y ' ' + y ' - 2 y = 0

y 0 = 4 ,   y ' 0 = - 4

É c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x , onde

r 1 =

r 2 =

c 1 =

c 2 =

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo:

y = A e λ x

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ x

y ' ' = A λ 2 e λ x  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

y ' ' + y ' - 2 y = 0

A λ 2 e λ x + A λ e λ x - 2 A e λ x = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ x ≠ 0 para qualquer x , então podemos dividir toda essa equação por A e λ x e ficamos com a equação característica:

λ 2 + λ - 2 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 + λ - 2 = 0

E agora podemos aplicar Bhaskara para achar as raízes:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - 1 ± 1 2 - 4.1 . ( - 2 ) 2.1 = - 1 ± 9 2

E daqui saem as duas raízes:

r 1 = - 1 - 3 2 = - 2

r 2 = - 1 + 3 2 = 1

Então daqui temos que:

r 1 = - 2   e   r 2 = 1

E a solução geral é:

y = c 1 e - 2 x + c 2 e x

E pra determinar quais são os valores de c 1 e c 2 precisamos de duas condições iniciais.

Passo 3

O problema nos diz que:

y 0 = 4 ,   y ' 0 = - 4

Então vamos aplicar essas condições na função solução e na derivada dela:

y = c 1 e - 2 x + c 2 e x

y 0 = c 1 + c 2 = 4

E na derivada:

y ' = - 2 c 1 e x + c 2 e - 2 x  

E em x = 0 :

y ' 0 = - 2 c 1 + c 2 = - 4

Daí temos o seguinte sistema:

1 : c 1 + c 2 = 4 2 : - 2 c 1 + c 2 = - 4

E se a gente fizer 1 - ( 2 ) vamos eliminar c 2 :

c 1 + 2 c 1 = 4 - ( - 4 )

3 c 1 = 8

c 1 = 8 3

Beleza? Agora é só escolher alguma equação do sistema pra achar c 2 . Aqui vou escolher a (1):

c 2 + 8 3 = 4

c 2 = 4 - 8 3 = 12 - 8 3 = 4 3

Pronto! Agora já sabemos as constantes!

E o resumo das respostas é:

r 1 = - 2 ,   r 2 = 1

c 1 = 8 3 ,   c 2 = 4 3

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

r 1 = - 2 ,   r 2 = 1

c 1 = 8 3 ,   c 2 = 4 3

Exercícios de Livros Relacionados

20. y^((4)) - 8 y^' = 0
21. y^((8)) + 8 y^((4)) + 16 y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞ ?29. y ' ' ' + y ' = 0 ;y 0 = 0 , y ' 0 = 1 ,y ' '
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. y ' ' ' + y ' ' - 2 y = 0
3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:a) f ' = 0 ; b) f n = 0 c) f ' = f d) f ' = a fa∈ R .