Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

f) y ( 4 ) - 5 y ' ' ' + 6 y ' ' + 4 y ' - 8 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y 4 - 5 y ' ' ' + 6 y ' ' + 4 y ' - 8 y = 0

Temos a equação característica:

r 4 - 5 r 3 + 6 r 2 + 4 r - 8 = 0

Pra ficar mais fácil de descobrir as raízes dessa equação, vamos tentar agrupar os termos:

r 4 - 5 r 3 + 6 r 2 + 4 ( r - 2 ) = 0

r 2 r 2 - 5 r + 6 + 4 r - 2 = 0

Fatorando r 2 - 5 r + 6 , temos:

r 2 r - 3 r - 2 + 4 r - 2 = 0

Vamos colocar o termo ( r - 2 ) em evidência:

( r - 2 ) 4 + r 2 r - 3 = 0

r - 2 r 3 - 3 r 2 + 4 = 0

Vamos fatorar r 3 - 3 r 2 + 4 agora:

r - 2 r + 1 r - 2 2 = 0

r - 2 3 r + 1 = 0

Pra esse produto ser verdadeiro r - 2 3 = 0 ou r + 1 = 0 . Daí, nós temos:

r + 1 = 0 → r = - 1

r - 2 3 = 0 → r - 2 = 0 → r = 2

Passo 3

Então, nossas raízes são r 1 = - 1 , r 2 = r 3 = r 4 = 2 .

Repare que nós temos três raízes iguais e uma raiz distinta, todas reais. Dessa forma, nós temos uma solução da forma c 1 e r 1 x . E para as raízes iguais a gente vai multiplicando cada termo da solução por x , pra que eles não fiquem iguais, então: c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x + c 4 x 2 e r 4 x .

Juntando tudo, temos nossa solução geral:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 x e r 3 x + c 4 x 2 e r 4 x

Substituindo das raízes:

y x = c 1 e - x + c 2 e 2 x + c 3 x e 2 x + c 4 x 2 e 2 x

Beleza!?

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

y x = c 1 e - x + c 2 e 2 x + c 3 x e 2 x + c 4 x 2 e 2 x

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