Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

3) Resolva a equação diferencial dada sujeita às seguintes condições iniciais:

y ' ' + 16 y = 0 ,     y 0 = 2 ,     y ' 0 = - 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada uma EDO y ' ' + 16 y = 0 em que y 0 = 2 e y ' 0 = - 2 e nosso objetivo é obter a solução dessa EDO.

Parece complicado? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a EDO para saber qual método podemos utilizar para obter essa solução.

A EDO é dada por

y ' ' + 16 y = 0

Dessa forma, podemos perceber que se trata de uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes, portanto para obter a solução dessa EDO temos que seguir alguns passos...

Primeiro fazemos y t = e r t e consequentemente y ' = r e r t e y ' ' = r 2 e r t .

Assim, substituindo na EDO podemos obter os valores para r .

Veja só! 😉

Passo 2

Substituindo y = e r t , y ' = r e r t e y ' ' = r 2 e r t , temos

y ' ' + 16 y = 0 → r 2 e r t + 16 e r t = 0

e r t r 2 + 16 = 0

Não é possível que e r t seja igual a 0 para satisfazer a equação, então o que resta é

r 2 + 16 = 0

Tirando as raízes dessa equação, chegamos em

r 2 = - 16

r = j 4

Quando o resultado da raiz for um número complexo^ r = a ± j b nesses casos, a solução da EDO é dada por

y t = e a t C 1 cos ⁡ b t + C 2 sin ⁡ b t

Nesse caso, a = 0 e b = 4 , então

y t = e 0 t C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sin ⁡ 4 t

y t = C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sin ⁡ 4 t

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Nesse problema foi dados os valores iniciais, então temos que obter a solução especifica dessa EDO.

Se y 0 = 2 , então

y 0 = C 1 cos ⁡ 4 0 + C 2 sin ⁡ 4 0 = 2

C 1 1 + C 2 0 = 2

C 1 = 2

Derivando a solução y t ...

y t = C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sin ⁡ 4 t → y ' t = - 4 C 1 sin ⁡ 4 t + 4 C 2 cos ⁡ 4 t

Se y ' 0 = - 2

y ' 0 = - 4 C 1 sin ⁡ 4 0 + 4 C 2 cos ⁡ 4 0 = - 2

- 4 C 1 0 + 4 C 2 1 = - 2

C 2 = - 1 2

Portanto, a solução da nossa EDO é dada por

y t = 2 cos ⁡ 4 t - 1 2 sin ⁡ 4 t

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

y t = 2 cos ⁡ 4 t - 1 2 sin ⁡ 4 t

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