Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Considere a equação não-homogênea y ' ' + p t y ' + q t = g t     ( 1 ) , em que p , q , g são funções contínuas em um intervalo I . Uma solução particular de (1) é combinação linear de soluções da equação homogênea associada y ' ' + p t y ' + q t y = 0 .

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar dissecando esse enunciado?

Considere a equação não-homogênea y ' ' + p t y ' + q t y = g t     ( 1 ) ,

Isso quer dizer que o lado direito da igualdade é diferente de zero. Uma equação diferencial (equação que tem derivadas) homogênea é quando g t = 0 . Quando ela é não-homogênea, g t ≠ 0 .

em que p , q , g são funções contínuas em um intervalo I : aquelas funções que multiplicam y ' , y e a função do lado direito, são bonitinhas, bem definidas, sem buracos ou descontinuidades em algum intervalo I .

Uma solução particular de (1): uma solução de uma equação diferencial é aquela função (ou combinação de funções, por exemplo, soma de duas funções, diferença de duas funções, etc.) que quando derivada (quantas vezes forem necessárias, aqui será necessário até a derivada segunda) e substituída na equação, nos fornece uma igualdade.

Para uma função Y ( t ) ser solução particular de uma equação diferencial, ela deve satisfazer essa equação diferencial. Isso significa que, ao derivarmos essa função e substituirmos na equação diferencial completa (com uma função no lado direito da igualdade) isso será uma verdade matemática.

Então se Y ( t ) é solução particular, então, da equação diferencial dada:

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

Derivando e substituindo temos

Y ' ' + p t Y ' + q t Y = g t  

Seja qual for a expressão de g ( t ) , a função Y ( t ) tem que satisfazer essa equação.

Beleza até aqui?

Passo 2

Aí com isso o enunciado nos afirma:

Uma solução particular de (1) é combinação linear de soluções da equação homogênea associada y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Uma solução particular de (1) envolve que a equação a ser satisfeita seja

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

E não a equação homogênea associada

y ' ' + p t y ' + q t y = 0

Mas vamos mostrar isso e verificar se é verdade ou não. Suponhamos que y 1 e y 2 sejam soluções da equação diferencial homogênea associada. Sendo assim, elas satisfazem essa equação, certo?

E com isso temos que elas devem satisfazer essas condições:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = 0         ( c o n d i ç ã o   1 )

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = 0       ( c o n d i ç ã o   2 )

Uma combinação linear dessas duas soluções seria algo assim

y = a y 1 + b y 2

Nosso enunciado nos afirma que, sendo y 1 e y 2 soluções da homogênea associada, uma combinação linear dessas soluções será solução particular da equação (1) – com aquele g ( t ) do lado direito.

Vamos ver se isso é verdade?

Para que uma função seja solução, não custa nada repetir, ela precisa satisfazer a equação diferencial. Então é isso que vamos fazer: testar se essa candidata a solução serve ou não.

Beleza?

Passo 3

O problema pergunta se y = a y 1 + b y 2

é solução para a equação diferencial

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

Bom, como já comentei, mas não custa nada relembrar, para uma função (ou combinação de funções) ser solução de uma equação diferencial, ela deve satisfazer a equação diferencial. Isto é: pegar essa candidata a solução, derivar e substituir tudo na equação diferencial se encontrarmos uma igualdade matemática (tipo 0 = 0 ), então essa candidata é solução da equação diferencial!

Nossa candidata é:

y = a y 1 + b y 2

Agora precisamos derivar isso, duas vezes!

Você viu em cálculo 1 que a derivada da diferença é a diferença da derivada:

y ' = a y 1 + b y 2 ' = a y 1 ' t + b y 2 ' ( t )

E isso serve para a derivada segunda também!

a y 1 + b y 2 ' ' = a y 1 ' ' t + b y 2 ' ' ( t )

Certo?

Agora vou substituir isso na equação diferencial:

y ' ' + p t y ' + q t y = g t

a y 1 ' ' t + b y 2 ' ' ( t ) + p t . a y 1 ' t + b y 2 ' ( t ) + q t . a y 1 + b y 2 = g t      

Tranquilo?

Passo 4

Agora vou reorganizar esses termos da seguinte forma: agrupando tudo que for em y 1 ( t ) (e suas derivadas) e tudo que for em y 2 ( t ) (e suas derivadas também):

a y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 + b y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = g t     ( g u a r d a   i s s o ! )

E agora vamos voltar lá para o passo 2: vamos relembrar as condições necessárias para que as funções y 1 e y 2 sejam soluções da homogênea associada:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = 0         ( c o n d i ç ã o   1 )

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = 0       ( c o n d i ç ã o   2 )

Sendo assim, podemos substituir essas condições nos colchetes ali da equação “(guarda isso)”:

a y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 ⏝ = 0 + b y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 ⏝ = 0 = g t    

0 + 0 = g ( t )

Mas bem no começo eu disse:

Essa função g ( t ) é obrigatoriamente diferente de zero, porque temos uma equação não-homogênea!

Logo a sentença matemática:

0 = g ( t )

É falsa!

Senso assim, y = a y 1 + b y 2 não é solução da nossa equação diferencial!

Sendo assim, a afirmativa está incorreta.

E a opção certa é: falso

Por enquanto é isso pessoal!

Até a próxima!

Resposta

f a l s o

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