Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

A solução da EDO

2 y ' ' + 14 y ' + 20 y = 0

É c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x , onde

r 1 =

r 2 =

Passo 1

Oi, tudo bem?

Temos uma equação diferencial, linear de ordem dois com coeficientes constantes: então vamos supor uma solução do tipo exponencial

y = A e λ x

E aí a derivada primeira e segunda são:

y ' = A λ e λ x

y ' ' = A λ 2 e λ x  

E pra sabermos quais valores de λ solucionam essa equação (que são os valores de r 1 e r 2 na solução do enunciado) vamos substituir essas expressões na equação diferencial:

2 y ' ' + 14 y ' + 2 0 y = 0

2 A λ 2 e λ x + 14 A λ e λ x + 2 0 A e λ x = 0

E como A ≠ 0 para termos solução não trivial e e λ x ≠ 0 para qualquer x , então podemos dividir toda essa equação por A e λ x e ficamos com a equação característica:

2 λ 2 + 14 λ + 2 0 = 0

Pra facilitar nossa vida, vou dividir essa equação por 2 :

λ + 7 λ + 10 = 0

Beleza? Agora precisamos achar as soluções dessa equação.

Passo 2

λ 2 + 7 λ + 10 = 0

E agora podemos aplicar Bháskara para achar as raízes:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( 7 ) ± ( 7 ) 2 - 4.1 . ( 10 ) 2.1 = - 7 ± 9 2

E daqui saem as duas raízes:

r 1 = - 7 - 3 2 = - 5

r 2 = - 7 + 3 2 = - 2

(no enunciado se pede para colocar a menor raiz primeiro)

E a solução geral é:

y = c 1 e - 5 x + c 2 e - 2 x

Onde r 1 = - 5 e r 2 = - 2 .

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

r 1 = - 5 ,   r 2 = - 2

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