Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Determine a solução geral das EDO’s homogêneas:

h) y ( 4 ) - 2 y ' ' ' + y ' ' + 2 y ' - 2 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e pediu pra gente encontrar a solução geral dela. Beleza, mas como a gente resolve isso?

Galera, os métodos de resolução para EDO’s de segunda ordem também podem ser estendidos pra EDO’s de ordem mais alta. Então, o esquema de resolução é o mesmo: a gente vai montar uma equação característica para a EDO, calcular suas raízes e analisar cada caso.

Se nós tivermos raízes reais e distintas, nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x

Se nossas raízes forem reais e iguais, vamos ter uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x + c 3 e r 3 x

E, por fim, se as raízes forem complexas com r = α ± β i , temos uma solução da forma:

y x = e α x c 1 + c 2 cos ⁡ ( β x ) + c 3 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual dos três caso se encaixa nossa EDO.

Vamos lá!

Passo 2

Para a nossa EDO:

y 4 - 2 y ' ' ' + y ' ' + 2 y ' - 2 y = 0

Temos a equação característica:

r 4 - 2 r 3 + r 2 + 2 r - 2 = 0

Vamos tentar fatorar essa equação pra descobrir suas raízes. Vamos começar agrupando os termos:

r 2 r 2 - 2 r + 1 + 2 r - 1 = 0

Fatorando a equação r 2 - 2 r + 1 , temos:

r 2 r - 1 2 + 2 r - 1 = 0

Colocando ( r - 1 ) em evidência:

r - 1 r 2 r - 1 + 2 = 0

r - 1 r 3 - r 2 + 2 = 0

Fatorando agora r 3 - r 2 + 2 :

r - 1 r + 1 r 2 - 2 r + 2 = 0

Pra que esse produto seja igual a zero, cada termo precisa ser igual a zero. Então:

r - 1 = 0 → r = 1

r + 1 = 0 → r = - 1

r 2 - 2 r + 2 = 0

Pra encontrar os zeros da equação do segundo grau, vamos usar Bhaskara:

r = 2 ± 4 - 8 2 = 2 ± 2 i 2

Logo,

r = 1 ± i

Passo 3

Repare que nós temos duas raízes reais r 1 = 1 e r 2 = - 1 , que nos dão uma solução da forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

E duas raízes complexas, r 3 = 1 + i e r 4 = 1 - i , que nos dão a solução da forma:

y x = e α x c 3 cos ⁡ ( β x ) + c 4 sin ⁡ ( β x )

Com α = 1 .

Juntando tudo, nós temos nossa solução geral:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + e α x c 3 cos ⁡ ( β x ) + c 4 sin ⁡ ( β x )

Substituindo as raízes:

y x = c 1 e x + c 2 e - x + e x ( c 3 cos ⁡ x + c 4 sin ⁡ x )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 e - x + e x ( c 3 cos ⁡ x + c 4 sin ⁡ x )

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