Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

UFF - Cálculo IIA - P2 Sérgio Licanic 2014.1 – 5

Determine a solução geral da equação diferencial

y ' ' ' + 9 y ' ' + 24 y ' - 34 y = 0

Passo 1

Vamos fazer o mesmo que fazíamos para equações de ordem 2. Resolver a equação característica.

r 3 + 9 r 2 + 24 r - 34 = 0

Temos que tentar achar uma soluçaõ e reduzir o grau da equação. Somando os coeficientes percebemos que o resultado é zero, isso significa que o número 1 é solução da equação. Logo ela pode ser reescrita como

r - 1 r 2 + 10 r + 34 = 0

Aqui vamos ter

r - 1 = 0         o u         r 2 + 10 r + 34 = 0

Então

r 1 = 1

Vamos as outras raízes

r 2 + 10 r + 34 = 0

r = - 10 ± 10 2 - 4 1 34 2 = - 10 ± 100 - 136 2 = - 10 ± - 36 2 = - 10 ± 6 i 2 = - 5 ± 3 i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Seguindo a analogia das EDO’s de ordem 2 a solução será

y = A e x + e - 5 x B cos 3 x + C sen 3 x

E é exatamente assim que fazemos com EDO’s lineares de coeficientes constantes com ordem maior do que dois.

Resposta

y = A e x + e - 5 x B cos 3 x + C sen 3 x

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