Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 125, exercício 17

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

2 y ' ' ' - 4 y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO homogênea, isso porque temos a EDO igual a 0 .

A primeira coisa a fazer é achar a equação característica

2 r 3 - 4 r 2 - 2 r + 4 = 0

Primeiro vamos dividir todo mundo por 2 para diminuir nossas contas

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Agora precisamos achar as soluções de equação. A primeira coisa que fazemos numa equação assim é ver se temos algum r para colocar em evidência, e neste caso não temos isso

Temos que resolver

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos ver algumas dicas de como resolver uma equação de grau maior que 2 . A ideia é ir achando as raízes aos poucos e ir diminuindo o grau dessa equação.

Quando temos uma equação assim temos alguns candidatos a raízes dessa parada.

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser 1 , vamos chamar isso de a

a = 1

Qual o valor do cara sem a variável r ? Vai ser 2 , vamos chamar isso de b

b = 2

As possíveis raízes vão ser os divisores de b sobre os divisores de a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.

Os divisores de a são ± 1 e os divisores de b são ± 1 e ± 2 , assim as possíveis raízes vão ser

r = ± 1 , ± 2

Então temos que testar essas duas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar 0 , se der 0 o valor de r é raiz, se não der 0 ele não é raiz.

Vamos começar testando

r = - 1

Substituindo na equação vamos ter

( - 1 ) 3 - 2 . - 1 2 - ( - 1 ) + 2 =

- 1 - 2 + 1 + 2 =

0

Como deu 0 , r = - 1 é uma raiz dessa equação. Então vamos ter

r 1 = - 1

Passo 3

Agora que temos uma raiz dessa equação podemos aplicar o método de briot-ruffini para diminuir essa equação em 1 grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo

r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o r elevado aos graus que não aparecem, neste caso a equação já está completa.

Agora montamos o seguinte quadrinho

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1 . - 1 + - 2 = - 1 - 2 = - 3

Esse primeiro 1 é o coeficiente, o segundo - 1 é o número no canto superior direito e aquele - 2 é o próximo coeficiente.

Vamos achar - 3 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente - 2 , ficando

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar

- 3 . - 1 + - 1 = 3 - 1 = 2

E vamos ter

Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar

2 . - 1 + 2 = - 2 + 2 = 0

Como aquele último cara deu 0 a nossa conta está certinha, se não der 0 alguma conta está errada.

A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele 0 , começando com um grau a menor que o anterior, neste caso vamos ter

x 2 - 3 x + 2 = 0

Como achamos uma equação de grau 2 podemos fazer como fazemos normalmente. Se essa equação tivesse grau maior que 2 era só fazer tudo que acabamos de fazer de novo para diminuir o grau dessa equação

Passo 4

A nossa equação vai ser

r 2 - 3 r + 2 = 0

r 2 = - - 3 + - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 + 9 - 8 2 = 3 + 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2

r 3 = - - 3 - - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 - 9 - 8 2 = 3 - 1 2 = 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui

r 1 = - 1

r 2 = 2

r 3 = 1

Passo 5

Beleza agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO.

Todas as nossas raízes tem multiplicidade 1 então nossas soluções vão ser

y 1 = C 1 e - x

y 2 = C 2 e 2 x

y 3 = C 3 e x

E a nossa solução geral vai ser

y = y 1 + y 2 + y 3

Que vai ficar

y = C 1 e - x + C 2 e 2 x + C 3 e x

Resposta

y = C 1 e - x + C 2 e 2 x + C 3 e x

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