Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Encontre a solução geral da equação linear abaixo

y 4 - 4 y 3 + 10 y ' ' - 12 y ' + y = 0 .

Dica: use que r 4 - 4 r 3 + 10 r 2 - 12 r + 1 = r 2 - 2 r + 1 r 2 - 2 r + 5 .

Passo 1

Beleza, tirando a equação característica da equação, vamos ter

r 4 - 4 r 3 + 10 r 2 - 12 r + 1 = 0 .

Que é exatamente a dica que deu na questão. Bem, então temos que isolar r , usando a dica

r 4 - 4 r 3 + 10 r 2 - 12 r + 1 = r 2 - 2 r + 1 r 2 - 2 r + 5 = 0 .

Isso significa que

r 2 - 2 r + 1 = 0

r 2 - 2 r + 5 = 0

Passo 2

Vamos encontrar as raízes das equações de segundo grau agora. Para a primeira, temos um quadrado perfeito

r 2 - 2 r + 1 = r - 1 2

Recorrendo ao nosso velho amigo Bhaskara, para a segunda equação

r = + 2 ± 4 - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 2 = 2 ± 4 - 20 2 = 2 ± - 16 2 = 2 ± 4 i 2 = 1 ± 2 i

Então, vamos ter:

r - 1 2 r - 1 - 2 i r - 1 + 2 i = 0

r 1 = r 2 = 1

r 3 = 1 + 2 i

r 4 = 1 - 2 i

Passo 3

Beleza, a solução vai ser dada por

y x = A y 1 + B y 2 + C y 3 + D y 4

Para r 1 , temos: y 1 = e r 1 x = e x

Para r 2 , como r 1 = r 2 , multiplicamos por x :

y 2 = x e r 2 x = x e x

Agora, para as raizes com parte imaginária r = α ± β i , a solução será na forma

y = e α x sen ⁡ β x + cos ⁡ β x

Assim, teremos, para r 3 e r 4 :

y = e x C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x

Passo 4

Determinado cada um, vamos ter solução geral:

y x = A y 1 + B y 2 + C y 3 + D y 4

y x = A e x + B x e x + e x C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x

Simplificando, vamos ter:

y x = e x A + B x + C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x

Como o problema não deu condições iniciais, deixamos a resposta assim mesmo, com constantes. 😊

Resposta

y x = e x A + B x + C sen ⁡ 2 x + D cos ⁡ 2 x

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