Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

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Enunciado

Resolva a equação

y ' ' ' - 4 y ' ' + 4 y ' = 0

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO homogênea, isso porque temos a EDO igual a 0 .

A primeira coisa a fazer é achar a equação característica

r 3 - 4 r 2 + 4 r = 0

Agora precisamos achar as soluções de equação. A primeira coisa que fazemos numa equação assim é ver se temos algum r para colocar em evidência,

r r 2 - 4 r + 4 = 0

r = 0         o u         r 2 - 4 r + 4 = 0

Assim temos

r 1 = 0

Temos que resolver

r 2 - 4 r + 4 = 0

Passo 2

A nossa equação vai ser

r 2 - 4 r + 4 = 0

r 2 = - - 4 + - 4 2 - 4.4 . 1 2.1 = 4 + 16 - 16 2 = 4 + 0 2 = 4 2 = 2

r 3 = - - 4 - - 4 2 - 4.4 . 1 2.1 = 4 - 16 - 16 2 = 4 - 0 2 = 4 2 = 2

Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui

r 1 = 0

r 2 = 2

r 3 = 2

Passo 3

Beleza agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO.

Temos uma raiz de multiplicidade 1 e uma raiz de multiplicidade 2 ,então nossas soluções vão ser

y 1 = C 1 e 0 x = C 1

y 2 = C 2 e 2 x

y 3 = C 3 x e 2 x

E a nossa solução geral vai ser

y = y 1 + y 2 + y 3

Que vai ficar

y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 x e 2 x

Resposta

y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 x e 2 x

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