Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

UERJ - Cálculo 3 - Lista 4 Fernando Lopes - 2b

Resolva a seguinte equação:

d 4 y d x 4 - 13 d 2 y d x 2 + 36 y = 0

Passo 1

Bom, na nossa teoria vimos que a equação característica será:

r 4 - 13 r 2 + 36 = 0 Essa é uma equação biquadrada a solução é sempre criar variável chamada: w = r 2 e substituir ela nessa equação:

w 2 - 13 w + 36 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

w 2 - 13 w + 36 = 0

a = 1 b = - 13 c = 36

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 13 2 - 4 1 ( 36 )

Δ = 25

Δ > 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

w 2 - 13 w + 36 = 0

Cálculo das raízes:

w = - b ± Δ 2 a = - ( - 13 ) ± 25 2 ( 1 )

w 1 = 13 2 + 5 2 = 9 w 2 = 13 2 - 5 2 = 4

Opa, mas então temos que:

r 1,2 2 = w 1 r 1 = 3 r 2 = - 3

r 3,4 2 = w 1 r 3 = 2 r 4 = - 2

Passo 5

Po, se antes com duas raízes eram duas funções exponenciais, agora que temos 4 raízes de multiplicidade 1 com determinante maior que zero, adivinha?? Vão ser a soma de 4 exponenciais!

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x + c 4 e r 4 x

Substituindo os valores de r :

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x

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