Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:

b ) d 2 y d x 2 = 1 1 + x 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

d 2 y d x 2 = 1 1 + x 2

Mas como resolver ela?

Integrando! Se integrarmos uma vez, vamos baixar em uma unidade a ordem da derivada! Vamos proceder até termos a função!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar integrando uma vez

d 2 y d x 2 = 1 1 + x 2

∫ d 2 y d x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 d x

d y d x = arctan ⁡ x + C 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos integrar mais uma vez

d y d x = arctan ⁡ x + C 1

∫ d y d x d x = ∫ arctan ⁡ x + C 1 d x

Aplicando por partes na integral do arco tangente

u = arctan ⁡ x

d u = 1 x 2 + 1

d v = d x ,   v = x

Aí por partes é

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Nossa solução fica

y x = x arctan ⁡ x - ∫ x x 2 + 1 d x + C 1 x

E integrando do lado direito por substituição simples u = x 2 + 1 , d u 2 = x   d x temos

y x = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C 1 x + C 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y x = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C 1 x + C 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2