3 . Considere a equação

4 y ' ' + β y ' + y = 0

i . Encontre o intervalo ( a , b ) tal que se β ∈ ( a ,   b ) então a solução da equação é da forma

y t = C 1 e λ 1 t + C 2 e λ 2 t ,

em que C 1 e C 2 são constantes arbitrárias e λ 1 e λ 2 são número reais distintos;

i i . Escolha um valor para β neste intervalo e resolva a equação.

Passo 1

Temos nessa questão uma equação de segunda ordem homogênea e nós resolvemos pelo polinômio característico.

E como o enunciado nos mostrar y t podemos ver que as raízes encontradas são reais e diferentes então precisamos resolver essa EDO e descobrir para qual intervalo isso é verdade.

Passo 2

Temos a EDO:

4 y ' ' + β y ' + y = 0 ⇒ y ' ' + β 4 y ' + 1 4 y = 0

Usando o polinômio característico temos:

r 2 + β 4 r + 1 4 = 0   ⇒ r = - β 4 ± β 2 16 - 4 ⋅ 1 4 2 = - β 4 ± β 2 16 - 1 2

Agora pensa comigo e vamos olhar dentro da raiz, se - 4 < β < 4 ao resolvermos o termo dentro da raiz teremos um número negativo e como eu disse no Passo 1 as raízes são reais.

Se β = - 4 ou β = 4 o termo dentro da raiz zera e isso também não é possível pois também disse no Passo 1 que as raízes são diferentes. Então o intervalor em que β está será dado por:

β ∈ - ∞ , - 4 ∪ 4 , ∞

Passo 3

i i . O enunciado pede pra escolhermos um valor pra β e por facilidade vou escolher β = 5 . Então vamos substituí-lo na nossa fórmula de Bhaskara.

r = - 5 4 ± 25 16 - 1 2 = - 5 4 ± 9 16 2 = - 5 4 ± 3 4 2

Com isso temos que:

r = - 2 8 = - 1 4       o u       r = - 8 8 = - 1

A solução da nossa EDO é:

y t = C 1 e - 1 4 t + C 2 e - t

Resposta

i .

β ∈ - ∞ , - 4 ∪ 4 , ∞

i i .

Para β = 5

y t = C 1 e - 1 4 t + C 2 e - t

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2