Determine a solução geral das equações diferenciais homogênea

e ) y 4 - 6 y ' ' ' + 10 y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes

y 4 - 6 y ' ' ' + 10 y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 4 - 6 m 3 + 10 m 2 - 6 m + 9 = 0

m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (polinômio de quarta ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + c 3 e m 3 t + c 4 e m 4 t

Beleza?

Beleza? Se encontrarmos raízes reais é só substituir na solução. Caso encontremos alguma raiz complexa, aí temos que fazer uma pequena modificação. Mas vamos ver isso mais para frente!

Ah, mais uma coisa! Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos das constantes mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

m 4 - 6 m 3 + 10 m 2 - 6 m + 9 = 0

As possíveis raízes são os divisores inteiros do termo independente:

D 9 = ± 1 ,   ± 3 , ± 9

Substituindo esses valores na equação o primeiro valor que encontramos zero é o m 1 = 3 . Para saber as outras raízes vamos dividir nossa equação por m - 3 .

Fazendo a divisão encontramos a seguinte forma fatorada

m - 3 m 3 - 3 m 2 + m - 3 = 0

Para encontrar as outras raízes podemos repetir o pensamento dos divisores do termo independente. Substituindo m por 3 encontramos novamente 3 como raiz (isso indica multiplicidade dois nesse valor). A forma fatorada fica

( m - 3 ) ( m - 3 ) ( m 2 + 1 )

Por fim para encontrar as outras raízes vamos aplicar báskara:

m = - ( 0 ) ± ( 0 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) = ± i

No nosso caso temos duas raízes complexa, aí podemos transformar uma exponencial complexo em termos de senos e cossenos assim

e a + i b t = e a t cos ⁡ b t + sin ⁡ b t

Sendo a = 0 ,   b = 1

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que sabemos as raízes podemos montar nossa solução

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + e a t c 3 cos ⁡ b t + c 4 sin ⁡ b t

Temos que m 1 = m 2 = 3 , m 3 = i ,   m 4 - i . Para remover a multiplicidade das duas primeiras exponenciais, vamos multiplicar por t uma delas

y = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t + c 3 cos ⁡ t + c 4 sin ⁡ t

Beleza?

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t + c 3 cos ⁡ t + c 4 sin ⁡ t

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2