Considere a equação de Laplace ∇ 2 V r → = 0 em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0 .  

d ) Mostre que se definirmos x = k r , obtemos que a equação:

r 2 d 2 R d r 2 + d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

pode ser reescrita como:

x 2 d 2 R d x 2 + x d R d x + x 2 - v 2 R = 0  

que é a equação de Bessel de ordem v .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r ⋅ ∂ V ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 V ∂ θ 2 + ∂ 2 V ∂ z 2 = 0

Ela é bem feinha, mas usando que o volume V é separável em:

V r , θ , z = R r Q θ Z z

chegamos no item anterior que:

r 2 d 2 R d r 2 + r d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

Daí, nesse item precisamos usar que:

x = k r

para provar que vale a relação:

x 2 d 2 R d x 2 + x d R d x + x 2 - v 2 R = 0  

Então galera, não tem muito mistério. Vamos substituir k r por x , e vamos calcular também a relação entre as derivadas de r e de x .

Bora lá!!

Passo 2

Se x = k r , então:

d x = k d r

∴ d x k = d r

E:

d x 2 k 2 = d r 2

Daí, substituindo esses dados na equação que chegamos no item anterior:

r 2 d 2 R d r 2 + r d R d r + k 2 r 2 - v 2 R = 0

Vem que:

x k 2 d 2 R d x 2 k 2 + x k d R d r k + x 2 - v 2 R = 0

Simplificando os k’s chegamos a:

x 2 d 2 R d x 2 + x d R d x + x 2 - v 2 R = 0

que é justamente a equação de bessel de ordem v que o enunciado nos pediu pra demonstrar 😊

Prontinho pessoal! Espero que vocês tenham curtido a solução e até a próxima!!

Resposta

Resposta no texto.

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