Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

e )   2 y ' ' - 2 y ' + y = 0 ,       y 0 = 5 ,   y ' 0 = 10

Passo 1

Poxa, uma EDO de segunda ordem a coeficientes constantes. Podemos resolver utilizando a equação característica:

2 y ' ' - 2 y ' + y = 0     →

2 r 2 - 2 r + 1 = 0

Calculando as raízes dessa equação característica:

∆ = b 2 - 4 a c = - 2 2 - 4 2 1 =

4 - 8 = 2 i

Como o delta é complexo, a solução dessa equação característica é também complexa. Aplicando Baskara teremos:

r = - b ± ∆ 2 a = 2 ± 2 i 4 =

1 2 ± 1 2 i

Ou seja:

r 1 = 1 2 + 1 2 i

E

r 2 = 1 2 - 1 2 i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se a solução da equação característica foi complexa, então a solução da EDO terá esse formato aqui:

y = e α x C cos ⁡ β x + D sin ⁡ β x

Onde α e β são:

r = α ± β i = 1 2 ± 1 2 i

Logo:

y = e 1 2 x C cos ⁡ 1 2 x + D sin ⁡ 1 2 x

Passo 3

Substituindo as condições iniciais agora:

y 0 = 5 ,   y ' 0 = 10

Para isso precisaremos calcular a derivada da função y :

y = e 1 2 x C cos ⁡ 1 2 x + D sin ⁡ 1 2 x     →

y ' = 1 2 e 1 2 x C cos ⁡ 1 2 x + D sin ⁡ 1 2 x + e 1 2 x - 1 2 C sin ⁡ 1 2 x + 1 2 D cos ⁡ 1 2 x

Então, com a condição y 0 = 5 temos:

5 = e 0 C cos ⁡ 0 + D sin ⁡ 0   →

5 = C

Com a segunda condição y ' 0 = 10 ...

10 = 1 2 e 0 C cos ⁡ 0 + D sin ⁡ 0 + e 0 - 1 2 C sin ⁡ 0 + 1 2 D cos ⁡ 0   →

10 = 1 2 C + 1 2 D   →

C + D = 20

Como C = 5 ...

D = 15

Logo, concluímos que a solução do problema é:

y = e 1 2 x 5 cos ⁡ 1 2 x + 15 sin ⁡ 1 2 x

Resposta

y = e 1 2 x 5 cos ⁡ 1 2 x + 15 sin ⁡ 1 2 x

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