Determine y = y ( t ) solução geral da equação

y ' ' + 6 y ' + 9 y = 0

e calcule lim t → + ∞ ⁡ y ( t )

Passo 1

Vamos começar encontrando a equação característica

r 2 + 6 r + 9 = 0

Vamos encontar então o valor de r

Δ = b 2 - 4 a c

= 36 - 4 × 9 = 0

r = - b ± Δ 2 a

r = - 6 2 = - 3

Como temos Δ = 0 ,   nossa solução fica como

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

= c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t

Passo 2

Calculando o limite quando t → + ∞

lim t → ∞ ⁡ y t

lim t → + ∞ ⁡ ( c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t )

Separando o limite da soma na soma dos limites, temos:

lim t → + ∞ ⁡ c 1 e - 3 t + lim t → + ∞ ⁡ c 1 t e - 3 t

Anaisando o primeiro limite, observe que teremos

lim t → + ∞ ⁡ c 1 e - ∞ t

Lembre que a função exponencial quando se aproxima de infitnito, tende ao infinito, e quando se aproxima de menos infinito, tende a zero! Então aqui ela vai ser zero!

lim t → + ∞ ⁡ c 1 e - ∞ t = 0

Passo 3

Resolvendo o segundo limite

lim t → + ∞ ⁡ c 1 t e - 3 t

Isso é o mesmo que

c 1 lim t → + ∞ ⁡ t e 3 t

Lembre que o exponencial cresce muito mais rápido do que a polinomial!! Então, quando t se aproxima do infinito, temos zero como resultado dessa divisão.

lim t → + ∞ ⁡ c 1 t e - 3 t = 0

Portanto, lim t → ∞ ⁡ y t = 0

Resposta

y t = c 1 e - 3 t + c 2 t e - 3 t

lim t → + ∞ ⁡ y t = 0

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