Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI):

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 3 e - t ,             y ( 0 ) = y ' ( 0 ) = 1

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que encontrar a solução da seguinte equação diferencial de segunda ordem

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 3 e - t

essa é uma equação diferencial ordin��ria de segunda ordem não-homogênea, portanto, iremos começar encontrando a solução da parte homogênea, e então, tendo isso como base, propor uma solução particular para cada parte do termo inomogêneo. Como este é um PVI, também teremos ao final de tudo avaliar as condições iniciais

y ( 0 ) = y ' ( 0 ) = 1

Mas isso será apenas após completar a questão como um todo! Bora lá!

Passo 2

Para achar a solução da parte homogênea, precisamos escrever o polinômio característico desta equação, ele é tal que

r 2 - 4 r + 4 = 0

aplicando Bhaskara podemos encontrar as duas raízes como

r ± = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 4 ) 2 ( 1 ) = 2

duas raízes reais iguais! Você lembra qual o formato da solução quando temos duas raízes reais repetidas? Saca só!

Passo 3

Para um polinômio característicos com raízes reais repetidas, temos que a solução é da forma

y h ( t ) = C 1 e r t + C 2   t   e r t

em que r = 2 é a nossa raiz, temos então que

y h ( t ) = C 1 e 2 t + C 2   t   e 2 t

este é o formato geral da solução da parte homogênea! Vamos analisar agora as soluções particulares!

Passo 4

Temos que a parte inomogênea é formada pela função g ( t ) = 3 e - t , ou seja, uam função exponencial! Usando o método de coeficientes a determinar, devemos supor uma solução particular para função acima. Como temos uma função exponencial devemos propor uma solução que é uma função exponencial análoga, ou seja

y p ( t ) = A   e - t

precisamos derivar esta função duas vezes para substituirmos na equação diferencial, lembrando que

d d t [ e a t ] = a   e a t

podemos escrever a primeira derivada como

y p ' ( t ) = - A   e - t

e, da mesma forma, a segunda derivada é

y p ' ' ( t ) = A e - t

Vamos substituir ambas as derivadas em nossa equação diferencial! Vem comigo!

Passo 5

Usando a equação diferencial, temos que

[ A e - t ] - 4 [ - A   e - t ] + 4 A e - t = 3 e - t

precisamos igualar os coeficientes em ambos os lados da equação acima, e assim encontrar o valor da constante A , juntando todos os termos do lado esquerdo, temos que

9 A e - t = 2   s e n ( 2 t )

para que a igualdade seja possível temos que 9 A = 3 , e portanto A = 1 / 3 . Nossa solução é então dada por

y p ( t ) = 1 3   e - t

Vamos escrever então a solução geral!

Passo 6

A solução geral será dada por

y ( t ) = y h ( t ) + y p ( t )

ou seja, temos que

y ( t ) = C 1 e 2 t + C 2 t e 2 t + 1 3 e - t

Para encontrar as constantes C 1 e C 2 será necessário avaliar as condições iniciais

y ( 0 ) = y ' ( 0 ) = 1

precisamos então derivar uma vez a nossa solução para avaliar a condição inicial sobre a primeira derivada! Vamo que vamo!

Passo 7

A primeira condição inicial é simplesmente y ( 0 ) = 1 , portanto, temos que

1 = C 1 e 2 ( 0 ) + C 2 ( 0 ) e 2 ( 0 ) + 1 3 e - ( 0 ) = C 1 + 1 3

daqui temos diretamente que C 1 = 1 - 1 / 3 , ou seja

C 1 = 2 / 3

para avaliar a segunda condição inicial precisamos calcular a derivada da solução! Usando a regra do produto para o segundo termo da solução, temos que a primeira derivada é

y ' ( t ) = 2 C 1 e 2 t + C 2 e 2 t + 2 C 2 t e 2 t - 1 3 e - t

em que usei a regra do tombo, e a derivada da exponencial que apresentei nos passos anteriores! Aplicando a condição inicial, temos que

1 = 2 C 1 e 2 ( 0 ) + C 2 e 2 ( 0 ) + 2 C 2 ( 0 ) e 2 ( 0 ) - 1 3 e - ( 0 ) = 2 C 1 + C 2 - 1 3

Como calculamos anteriormente que C 1 = 2 / 3 , temos que

1 + 1 3 - 2 ( 2 / 3 ) = C 2

ou, somando os termos, temos que

C 2 = 0

E a solução do PVI é dada por

y ( t ) = 2 3 e 2 t + 1 3 e - t

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y ( t ) = 2 3 e 2 t + 1 3 e - t

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