Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

Passo 1

Vamos encontrar os coeficientes para encontrarmos a equação característica e suas raízes. Então, comparando as equações:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0 3 y ' ' x + 2 y ' x + 1 y x = 0

Logo:

a = 3 b = 2 c = 1

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 2 2 - 4 3 ( 1 )

⇒ Δ = - 8

⟹ Δ < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos encontrar raízes da equação auxiliar:

r = - b ± i Δ 2 a = - ( 2 ) ± i - 8 2 ( 3 ) = - 2 ± 2 2 i 6 = - 1 ± 2 i 3

Logo:

r = - 1 3 ± 2 3 i

Comparando com

r = α ± β i

Temos que

α = - 1 3 β = 2 3

Passo 3

Vamos agora encontrar a solução:

y x = e α x c 1 cos ⁡ ( β x ) + c 2 sen ⁡ ( β x )

⇒ y x = e - 1 3 x [ c 1 cos ⁡ ( 2 3 x ) + c 2 sen ⁡ ( 2 3 x ) ]

⇒ y x = e - x 3 [ c 1 cos ⁡ 2 x 3 + c 2 sen ⁡ 2 x 3 ]

Resposta

y x = e - x 3 [ c 1 cos ⁡ 2 x 3 + c 2 sen ⁡ 2 x 3 ]

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