Considere um sistema MMA onde a força externa é F   =   5 e   - t , a massa é m = 1, a constante da mola é k = 2 e constante de amortecimento é b = 2. Temos que a força da mola e do amortecedor é dada, respectivamente, por ky(t) e by0 (t), onde y(t) é a posição da massa em relação ao equilíbrio. A segunda Lei de Newton afirma que o produto da massa pela aceleração é igual ao somatório das forças.

a) Mostre que a posição da massa satisfaz uma EDO linear de segunda ordem.

b) Verifique que y1(t) = e −t cos(t) e y2(t) = e −t sen(t) são soluções fundamentais da equação homogênea.

c) Obtenha a solução geral da equação não homogênea. A posição da massa tende a zero quando t cresce?

d) Determine uma solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = 0 e y’(0) = 1.

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão? Bora começar mais essa questão da lista. Começando pelo Item a), Pela segunda Lei de Newton, temos que y(t) satisfaz a seguinte equação

m y ' ' t = - b y ' t - k y t + F ,

Usando que F = 5 e - t , m = 1 , k = 2 , b = 2 a equação acima é equivalente a:

y ' ' t + 2 y ' t = 5 e - t

Passo 2

Para o item b), consideramos primeiro y1(t) = e −t cos(t). Usando as regras de derivação, obtemos que

y 1 ' t = - e - t c o s t - e - t s e n t ,     y 1 ' ' t = 2 e - t s e n t

Segue então que:

y 1 ' ' t + 2 y ' 1 t + 2 y 1 t = 0

Passo 3

Já no item c), Pelo método da variação dos parâmetros, a solução geral é dada por

y t = c 1 t e - t c o s t + c 2 t e - t s e n ( t )

Onde,

c 1 t = 5 cos ⁡ t + c 1

c 2 t = 5 s e n   t + c 2

de modo que a posição da massa tende a zero quando t cresce.

Resposta

a ) y ' ' t + 2 y ' t = 5 e - t

b ) y 1 ' ' t + 2 y ' 1 t + 2 y 1 t = 0

c ) c 1 t = 5 cos ⁡ t + c 1 c 2 t = 5 s e n   t + c 2  

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2