Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em 0 ,   ∞ da equação diferencial 2 x y ' ' - y ' + 2 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO de segunda ordem e pediu pra gente encontrar duas soluções seriais linearmente independentes usando o método de Frobenius.

Haha calma, que a gente desenrola. Esse cara, o Frobenius, criou um método pra encontrar uma solução para uma EDO ordinária de segunda ordem com ponto singular regular, usando séries de potências.

Lembra o que é um ponto singular? É quando P x 0 = 0 em uma EDO do tipo:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Quando isso acontece, dizemos que o ponto x 0 é singular. Então, a primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, e para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que no nosso caso:

2 x y ' ' - y ' + 2 y = 0

Comparando com a equação ali em cima:

P x = 2 x

Q x = - 1

R x = 2

E P x = 0 só para x = 0 , esse é o único ponto singular. Vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites:

l i m x → 0   x - 0 - 1 2 x   = l i m x → 0   - 1 2   = - 1 2

l i m x → 0   x - 0 2 2 2 x   = l i m x → 0   x 2 2 2 x   = x   = 0

Como os limites existem e são finitos, ele é um ponto singular regular.

Podemos assim encontrar as soluções da EDO definindo y ( x ) em termos seriais, com suas derivadas. Em seguida, igualar as potências de x e os índices dos somatórios, pra então resolver uma equação indicial (que é aquela que sobra do lado de fora dos somatórios), colocar o x n em evidência, encontrar a relação de recorrência e substituir na série de potências essa expressão para o a n . Uffa! Respira e vamos lá!

Passo 2

Vamos definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

Derivando, temos:

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

Derivando mais uma vez:

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2

E substituímos na EDO:

2 x y ' ' - y ' + 2 y = 0

2 x ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2 - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Passo 3

Vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n + r - 1 .

∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1

Vamos ter então:

∑ n = 0 ∞ 2 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

Passo 4

Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto n = 1 :

2 r r - 1 a 0 x r - 1 - r a 0 x r - 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

Vamos agora resolver a equação indicial:

2 r r - 1 a 0 - r a 0 = 0

Como a 0 ≠ 0 , temos:

2 r r - 1 - r = 0

2 r 2 - 2 r - r = 0

2 r 2 - 3 r = 0

r 1 = 0

r 2 = 3 2

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o x n + r - 1 em evidência

∑ n = 1 ∞ 2 n + r n + r - 1 a n x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ n + r a n x n + r - 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

∑ n = 1 ∞ 2 n + r n + r - 1 a n - n + r a n + 2 a n - 1 x n + r - 1 = 0

Lembre-se que o nosso objetivo é encontrar uma expressão para o a n e assim definir y ( x ) . Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo, o termo geral deve ser zero.

Como x n ≠ 0 obrigatoriamente, sabemos que o que está dentro dos parênteses deve ser igual a zero. Veja:

2 n + r n + r - 1 a n - n + r a n + 2 a n - 1 = 0

Essa é a chamada relação de recorrência dos coeficientes. Agora com base nessa equação vamos calcular a n fazendo:

2 n + r n + r - 1 - n + r a n = - 2 a n - 1

n + r 2 n + r - 1 - 1 a n = - 2 a n - 1

n + r 2 n + 2 r - 2 - 1 a n = - 2 a n - 1

n + r 2 n + 2 r - 3 a n = - 2 a n - 1

Isolando a n , temos:

a n = - 2 a n - 1 n + r 2 n + 2 r - 3

Passo 6

Agora vamos encontrar duas soluções, uma para cada valor de r que encontramos no passo 4 . Vamos achar a solução para o primeiro valor de r , r 1 = 0

a n = - 2 a n - 1 n 2 n - 3

p a r a   n = 1       →       a 1 = 2 a 0 1 . ( - 1 )                                                  

p a r a   n = 2       →         a 2 = - 2 a 1 2.1       →       a 2 = - 2 2 a 0 1.2 . 1

p a r a   n = 3       →       a 3 = - 2 a 2 3.3       →       a 3 = 2 3 a 0 1.2 . 3 1.3

Repara que vamos ter

a n = - 1 n + 1 2 n 1.2 . 3.4 … n 3.5 . 7 … 2 n - 3 a 0 = - 1 n + 1 2 n n ! 1.3 . 5.7 … 2 n - 3 a 0

Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por 2.4 . 6.8 … 2 n - 2 vamos completar o fatorial de 2 n - 2 ! , além disso

2.4 . 6.8 … 2 n - 2 = 2 n - 1 n - 1 !

Multiplicando em cima e embaixo:

a n = - 1 n + 1 2 n 2 n - 1 n - 1 ! n ! 3.5 . 7 … 2 n - 3 2 n - 1 n - 1 ! a 0 = - 1 n + 1 2 2 n - 1 n - 1 ! n ! 2 n - 2 ! a 0 = - 1 n + 1 2 2 n - 1 n 2 n - 2 ! a 0

Passo 7

Agora basta substituir essa expressão que encontramos para os coeficientes na série, lembrando que r = 0 , logo:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Vamos ter

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n - 1 n 2 n - 2 ! a 0 x n

Podemos tirar a 0 porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.

y 1 x = 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n - 1 n 2 n - 2 ! x n

Passo 8

Vamos achar a solução para o segundo valor de r , r 2 = 3 2

a n = - 2 a n - 1 n + 3 2 2 n + 3 - 3 = - 2 a n - 1 n + 3 2 2 n = - 2 a n - 1 2 n + 3 n

p a r a   n = 1       →       a 1 = - 2 a 0 5.1                                                  

p a r a   n = 2       →         a 2 = - 2 a 1 7.2       →       a 2 = 2 2 a 0 1.2 . 7.5

p a r a   n = 3       →       a 3 = - 2 a 2 9.3       →       a 3 = - 2 3 a 0 1.2 . 3 9.7 . 5

Repara que vamos ter

a n = - 1 n 2 n 1.2 . 3.4 … n 5.7 … 2 n + 3 a 0 = - 1 n 2 n n ! 5.7 … 2 n + 3 a 0

Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por 3.2 . 4.6 . 8 … 2 n + 2 vamos completar o fatorial de 2 n + 3 ! , além disso

3.2 . 4.6 . 8 … 2 n + 2 = 3 . 2 n + 1 n + 1 !

Multiplicando em cima e embaixo

a n = - 1 n 2 n 3 . 2 n + 1 n + 1 ! ! n ! 3.5 . 7 … 2 n + 3 3 . 2 n + 1 n + 1 ! a 0 = - 1 n 3 . 2 2 n + 1 n + 1 ! n ! 2 n + 3 ! a 0 = - 1 n 3 . 2 2 n + 1 n + 1 2 n + 3 ! a 0

Passo 9

Vamos ter (lembrando que r = 3 / 2 ):

y 2 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 3 / 2 = a 0 x 3 / 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 . 2 2 n + 1 n + 1 2 n + 3 ! a 0 x n + 3 / 2

Podemos tirar a 0 porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.

y 2 x = x 3 / 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 . 2 2 n + 1 n + 1 2 n + 3 ! x n + 3 / 2

Passo 10

Dessa forma, podemos escrever solução da EDO:

y x = C 1 y 1 x + C 2 y 2 x

y x = C 1 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n - 1 n 2 n - 2 ! x n + C 2 x 3 / 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 . 2 2 n + 1 n + 1 2 n + 3 ! x n + 3 / 2

Resposta

y x = C 1 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n - 1 n 2 n - 2 ! x n + C 2 x 3 / 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 . 2 2 n + 1 n + 1 2 n + 3 ! x n + 3 / 2

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