Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

Elaboração Própria

Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

y ' ' t - 6 y ' t + 8 y t = 0 y 0 = 0 y ' 0 = 2

Passo 1

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' t - 6 y ' t + 8 y t = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' ( t ) + b y ' t + c y t = 0 1 y ' ' ( t ) - 6 y ' ( t ) + 8 y ( t ) = 0

Logo:

a = 1 b = - 6 c = 8

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 6 2 - 4 1 ( 8 )

Δ = 4

Δ > 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 - 6 r + 8 = 0

r 2 - 6 r + 8 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( - 6 ) ± 4 2 ( 1 )

r 1 = 4 r 2 = 2

Passo 5

Encontrar a solução:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Substituindo os valores de r :

y t = c 1 e 4 t + c 2 e 2 t

y t = c 1 e 4 t + c 2 e 2 t

Passo 6

Resolver o PVI:

Calcular derivada:

y ' t = 4 c 1 e 4 t + 2 c 2 e 2 t

Substituir t = 0 :

y 0 = c 1 e 4   0 + c 2 e 2 0

y 0 = c 1 + c 2

y ' 0 = 4 c 1 e 4 0 + 2 c 2 e 2 0

y ' 0 = 4 c 1 + 2 c 2

Substituir valores iniciais fornecidos:

y 0 = c 1 + c 2 = 0

y ' 0 = 4 c 1 + 2 c 2 = 2

Encontrar as constantes:

c 1 + c 2 = 0 4 c 1 + 2 c 2 = 2

Logo:

c 1 = 1 c 2 = - 1

Substituir constantes na solução geral:

y t = 1 e 4 t + - 1 e 2 t

y t = e 4 t - e 2 t

Resposta

y t = e 4 t - e 2 t

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