Resolva as seguintes equações de ordem maior que 2 :

(a) y ( 4 ) - 5 y 2 + 4 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a EDO de ordem maior que 2 , no caso, de quarta ordem. Pra isso, o procedimento é bem parecido com a resolução de EDO de segundo grau, basta a gente encontrar a equação característica associada e resolvê-la.

Assim, para uma EDO do tipo:

a n y ( n ) + a n - 1 y n - 1 + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0

Montaremos a equação auxiliar:

a n r n + a n - 1 r n - 1 + … + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0

Encontraremos as raízes dessa equação e para cada uma dela vamos escrever uma solução do tipo y = e r x . A soma dos y k nos dá a solução geral:

y x = y 1 + y 2 + y 3 + … + y n - 1 + y n

Vamos lá!

Passo 2

Nossa EDO é dada por:

y ( 4 ) - 5 y 2 + 4 y = 0

Escrevendo sua equação auxiliar, temos:

r 4 - 5 r 2 + 4 = 0

Agora pra resolver essa equação vamos chamar u = r 2 e consequentemente u 2 = r 4 . Assim, temos:

u 2 - 5 u + 4 = 0

E podemos resolver usando Bháskara:

u = 5 ± 25 - 16 2 = 5 ± 3 2

Logo,

u 1 = 2

u 2 = 1

Voltando pra nossa variável r , teremos:

u = r 2 = 2 2 = 4

u 2 = r 2 = 1 2 = 1

Então, nossas raízes serão r 1 = 1 , r 2 = 2 , r 3 = - 2 , r 4 = - 1 . Como todas as raízes são reais, nossas soluções são:

y 1 = c 1 e x

y 1 = c 2 e 2 x

y 3 = c 3 e - 2 x

y 4 = c 4 e - x

E juntanto tudo, temos nossa solução geral:

y x = c 1 e x + c 2 e 2 x + c 3 e - 2 x + c 4 e - x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 e 2 x + c 3 e - 2 x + c 4 e - x

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