Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

EDO de 2ª Ordem Homogênea

Uma EDO de segunda ordem, linear homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma

x t = c 1 + c 2 t e 3 t

onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias, é:

(a) x ' ' - 6 x ' + 9 x = 0

(b) x ' ' - 9 x = 0

(c) x ' ' + 3 x ' + 3 x = 0

(d) x ' ' + 9 x = 0

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Temos uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, então ela é da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

e sua equação auxiliar é

a r 2 + b r + c = 0

⇒ Δ = b 2 - 4 a c

Temos 3 casos diferentes, né? Δ > 0 ,   Δ = 0 e Δ < 0 . E em cada um deles a solução geral da EDO tem uma forma diferente.

E aqui justamente ele já nos deu a solução geral

x t = c 1 + c 2 t e 3 t

Opa! Podemos identificar que essa solução é da forma

x t = c 1 + c 2 t e r t = c 1 e r t + c 2 t e r t

que é quando Δ = 0 ! E comparando as duas expressões, vemos que r = 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, sabemos que r = - b ± Δ 2 a = 3 e que Δ = 0 . Ou seja:

- b 2 a = 3 b 2 - 4 a c = 0

Multiplicando por - 2 a dos 2 lados, a 1ª equação fica

b = - 6 a

Substituindo na 2ª equação:

- 6 a 2 - 4 a c = 0

⇒   36 a 2 = 4 a c

E a ≠ 0 já que r = - b 2 a = 3 . Então podemos cortar a dos 2 lados:

36 a = 4 c

⇒ 9 a = c

Passo 3

Achamos b = - 6 a e c = 9 a . Então a EDO é:

a x ' ' - 6 a x ' + 9 a x = 0

⇒   a x ' ' - 6 x ' + 9 x = 0

⇒   x ' ' - 6 x ' + 9 x = 0

Resposta

Alternativa (a)

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