Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

Passo 1

Precisamos resolver a EDO

y ' ' - 4 y + 5 y = 0

Para isso vamos lançar mão da nossa equação auxiliar

r 2 - 4 r + 5 = 0

Neste caso ∆ = 16 - 20 = - 4 < 0

Determinado as raízes encontramos

r = 2 ± i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos num caso em que ∆ < 0 , sabemos que a nossa solução vai ser do tipo

y x = e α x C 1 cos ⁡ ( β x + C 2 sen ⁡ β x )

Onde α   e   β vem das raízes da equação auxiliar

r = α ± β

Então no caso da EDO deste exercício

α = 2

β = 1

E a solução fica

y x = e 2 x ( C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x )

y x = C 1 e 2 x cos ⁡ x + C 2 e 2 x sen ⁡ x

Resposta

y x = C 1 e 2 x cos ⁡ x + C 2 e 2 x sen ⁡ x

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