Encontre a solução geral das equações:

( b )   y ' ' + 4 y ' = 2   s e n ( 2 t ) + t

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que encontrar a solução da seguinte equação diferencial de segunda ordem

y ' ' + 4 y = 2   s e n ( 2 t ) + t

essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea, portanto, iremos começar encontrando a solução da parte homogênea, e então, tendo isso como base, propor uma solução particular para cada parte do termo inomogêneo. Vamos lá!

Passo 2

Para achar a solução da parte homogênea, precisamos escrever o polinômio característico desta equação, ele é tal que

r 2 + 4 = 0

portanto temos duas raízes da forma

r = ± - 4 = ± 2 i

portanto, temos raízes complexas conjugadas, lembra-se qual o formato da solução para este caso em particular? Saca só!

Passo 3

Para um polinômio característicos com raízes complexas conjugadas, temos que a solução é da forma

y h ( t ) = C 1 e a t s e n ( b t ) + C 2 e a t c o s ( b t )

em que a e b são obtidos da raíz comparando-se com o formato usual de um número complexo z = a ± i b , ou seja, temos que b = 2 e a = 0 , nossa solução é então

y h ( t ) = C 1 e 0 t s e n ( 2 t ) + C 2 e 0 t c o s ( 2 t ) = C 1 s e n ( 2 t ) + C 2 c o s ( 2 t )

este é o formato geral da solução da parte homogênea! Vamos analisar agora as soluções particulares!

Passo 4

Temos que a parte inomogênea é formada por duas funções g 1 ( t ) = 2   s e n ( 2 t ) e g 2 ( t ) =   t , ou seja, respectivamente uma função trigonométrica e um polinômio de primeiro grau! Usando o método de coeficientes a determinar, devemos supor uma solução particular para função acima. Começando com a função trigonométrica, devemos propor uma solução que é combinação linear de senos e cossenos da seguinte forma

y 1 p ( t ) = A   s e n ( 2 t ) + B   c o s ( 2 t )

no entanto, esta solução já está presente em nossa solução da parte homogênea, desta forma, para contornar o problema, devemos multiplicar a solução acima por t , devemos usar então que

y 1 p ( t ) = t [ A   s e n ( 2 t ) + B   c o s ( 2 t ) ]

precisamos derivar esta função duas vezes para substituirmos na equação diferencial, lembrando que

d d t [ s e n ( 2 t ) ] = 2   c o s ( 2 t ) e d d t [ c o s ( 2 t ) ] = - 2   s e n ( 2 t )

podemos usar a regra do produto para escrever a primeira derivada como

y 1 p ' ( t ) = A   s e n ( 2 t ) + B   c o s ( 2 t )   + 2 A   t   c o s ( 2 t ) - 2 B   t   s e n ( 2 t )

e, da mesma forma, a segunda derivada é

y 1 p ' ' ( t ) = 2 A   c o s ( 2 t ) - 2 B   s e n ( 2 t ) + 2 A   c o s ( 2 t ) - 4 A   t   s e n ( 2 t ) - 2 B   s e n ( 2 t ) - 4 B   t   c o s ( 2 t )

juntando alguns termos, temos que

y 1 p ' ' ( t ) = 4 A   c o s ( 2 t ) - 4 B   s e n ( 2 t ) - 4 A   t   s e n ( 2 t ) - 4 B   t   c o s ( 2 t )

Vamos substituir ambas as derivadas em nossa equação diferencial! Vem comigo!

Passo 5

Usando a equação diferencial, mas apenas para a parte inomogênea que estamos interessados no momento, temos que

[ 4 A   c o s ( 2 t ) - 4   B   s e n ( 2 t ) - 4 A   t   s e n ( 2 t ) - 4 B   t   c o s ( 2 t ) ] + 4 [ t [ A   s e n ( 2 t ) + B   c o s ( 2 t ) ] ] = 2   s e n ( 2 t )

precisamos igualar os coeficientes em ambos os lados da equação acima, e assim montar um sistema de equações para as constantes A e B , juntando tudo que carrega um seno e tudo que carrega um cosseno ( assim como t   s e n ( 2 t ) e t   c o s ( 2 t ) )individualmente, temos

c o s ( 2 t ) [ 4 A ] + s e n ( 2 t ) [ 4 B ] + t   s e n ( 2 t ) [ - 4 A + 4 A ] + t   c o s ( 2 t ) [ - 4 B + 4 B ] = 2   s e n ( 2 t )

Note que os termos que carregam t se cancelam, restando apenas a relação

c o s ( 2 t ) [ 4 A ] + s e n ( 2 t ) [ 4 B ] = 2   s e n ( 2 t )

para que a igualdade seja possível temos que 4 B = 2 , e portanto B = 1 / 2 , assim como 4 A = 0 , portanto A = 0 . Nossa solução é então dada por

y 1 p ( t ) = 1 2   t   c o s ( 2 t )

Vamos agora trabalhar com a segunda solução!

Passo 6

O segundo termo inomogêneo é um polinômio de primeiro grau, portanto, como não há polinômios de primeiro grau na solução da homogênea, iremos propor simplesmente

y 2 p ( t ) = A + B t

que é um polinômio de primeiro grau! Usando a regra do tombo para calcular as duas derivadas, obtemos

y 2 p ' ( t ) = B

e, também

y 2 p ' ' ( t ) = 0

Nossa equação diferencial toma então a seguinte forma

0 + 4 [ A + B t ] = t

ou simplesmente

4 A + 4 B t = t

de forma que temos A = 0 e B = 1 / 4 . A solução é então tal que

y 2 p ( t ) = 1 4 t

Uff… temos tudo que precisamos agora! Vamos escrever a nossa solução geral!

Passo 7

A solução geral será dada por

y ( t ) = y h ( t ) + y 1 p ( t ) + y 2 p ( t )

ou seja, temos que

y ( t ) = C 1 s e n ( 2 t ) + C 2 c o s ( 2 t ) + 1 2 t   c o s ( 2 t ) + 1 4 t

Para encontrar as constantes C 1 e C 2 seria necessário avaliar condições iniciais que não foram dadas! Portanto, a questão fica por aqui! Tchau Tchau!

Resposta

y ( t ) = C 1 s e n ( 2 t ) + C 2 c o s ( 2 t ) + 1 2 t   c o s ( 2 t ) + 1 4 t

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2