Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

y ' '   + y = 4 x + 10 s i n ( x ) ;   y ( π ) = 0   e   y ' ( π ) = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:

a y ' ' + b y ' + c y + d = 0

A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.

O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.

a x 2 + b x   + c = 0

Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência 2 com segunda derivada, e assim por diante.

Agora achamos as raízes. Mas como o polinômio característico é do segundo grau. Usamos Bhaskara. Sendo assim suponha que x 1 e x 2 são as raízes do polinômio característico.

Se x 1 ≠ x 2 , Então a solução geral da EDO homogênea é:

A e x 1 t + B e x 2 t

com A , B ∈ R

Se x 1 = x 2 , Então a solução geral da EDO homogênea é:

A e x 1 t + B x e x 1 t

com A , B ∈ R

Se x 1 , x 2 ∉   R , Então a solução geral da EDO homogênea é:

x 1   = v + i w

e v x ( A c o s ( w x ) + B s i n ( w x ) )

com A , B ∈ R

Deu para revisar? Show!!!!

MAS PERA AE!!!!! NÓS QUEREMOS A SOLUÇÃO DE

y ' '   + y = 4 x + 10 s i n ( x ) ;   y ( π ) = 0   e   y ' ( π ) = 2

E essa não é uma EDO homogênea. Então o que fazemos??? Ora é bem simples. Primeiro calculamos a solução da EDO homogênea e depois somamos com uma solução particular da nossa EDO. E adivinha como encontramos a solução particular, muitas vezes é na base do chute mesmo. kkkkkk

E nesse caso, podemos separar da seguinte forma. Podemos calcular uma solução particular para

y ' '   + y = 4 x

e outra para

y ' '   + y = 10 s i n ( x )

e depois somar elas. Bem bacana né?

E por fim, resolvemos o problema de valor inicial

y ( π ) = 0   e   y ' ( π ) = 2

Então vamos nessa!!!!

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

y ' '   + y = 4 x + 10 s i n ( x ) ;   y ( π ) = 0   e   y ' ( π ) = 2

Vamos calcular o polinômio característico da EDO homogênea associada.

y ' '   + y = 0

Pela nossa revisão ele é

1 r 2 + 1 r

Vamos obter suas raízes

1 r 2 + 1 r = 0

Por Bhaskara, as raízes são

± i

Ou seja, temos duas raízes reais complexas. Então a nossa solução homogênea é da forma

x 1   = v + i w

e v x ( A c o s ( w x ) + B s i n ( w x ) )

com A , B ∈ R

Como nosso x 1 = 0 + i , então a solução do sistema homogêneo é:

A c o s ( x ) + B s i n ( x )

Agora, precisamos de uma solução particular para

y ' '   + y = 4 x + 10 s i n ( x )

Como falamos no passo 1, podemos separar e calcular as soluções particulares para

y ' '   + y = 4 x

y ' '   + y = 10 s i n ( x )

e depois somar elas. Vamos começar com y ' '   + y = 4 x

Vamos pensar na mais simples possível, um polinômio. Vamos supor que é o polinômio

4 x

E vamos ver se satisfaz a EDO

( 4 x   ) ' '   + 4 x   =   0 + 4 x

= 4 x

Opaaaa, satisfaz. Vamos guardar essa solução particular. Vamos obter a próxima solução particular

y ' '   + y = 10 s i n ( x )

Vamos chutar um - C x c o s ( x ) como solução. Então temos

( C s i n ( x )   ) ' '   + C s i n ( x )   =   2 C s i n ( x ) + C x c o s ( x ) - C x c o s ( x )

= 2 C s i n ( x )

Então, fazendo C = 5 , temos mais uma solução particular. Que é:

- 5 x c o s ( x )

Então a solução geral é a soma da solução homogênea com as particulares. Que é da forma

A c o s ( x ) + B s i n ( x ) + 4 x - 5 x c o s ( x )

Passo 3

Para finalizar, só precisamos resolver o problema de valor inicial

y ' '   + y = 4 x + 10 s i n ( x ) ;   y ( π ) = 0   e   y ' ( π ) = 2

Bem, sabemos que a solução geral é:

A c o s ( x ) + B s i n ( x ) + 4 x - 5 x c o s ( x )

Então, y ( π ) é:

- A + 0 + 4 π + 5 π

= A + 9 π

Como queremos que . Então

A = - 9 π

E temos a segunda condição

y ' ( π ) = 2

Como

y ' ( x ) = - A s i n ( x ) + B c o s ( x ) + 4 + 5 x s i n ( x ) - 5 c o s ( x )

Logo,

y ' ( π ) = - B + 4 + 5

Mas como

y ' ( π ) = 2

Então

B = 7

Logo a solução do PVI é

- 9 π c o s ( x ) + 7 s i n ( x ) + 4 x - 5 x c o s ( x )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

A e t + B + 3 x

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2