Questão 2 - Determine os coeficientes a , b , c da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea, a y ' ' + b y ' + c y = 0 , cuja solução geral é dada por y = c 1 e 2 x + c 2 e - 3 x , c 1 , c 2 ∈ R .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, nosso objetivo é obter os valores dos coeficientes a , b e c da EDO a y ' ' + b y ' + c y = 0 dado que a solução geral dessa EDO é y = c 1 e 2 x + c 2 e - 3 x .

Ou seja, temos que fazer o caminho inverso... a partir da solução, obter a EDO!

Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔

Em uma EDO homogênea de coeficientes constantes, a solução geral varia um pouco de acordo com o da equação característica.

Se ∆ > 0 , a solução será do tipo y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x .

Se ∆ < 0 , a solução será y = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n b x , em que a e b são obtidos em r = a ± b i .

E se ∆ = 0 , a solução será y = c 1 e r x + c 2 x e r x .

Então a primeira coisa que temos que fazer é obter a equação característica da EDO.

Entendeu? Bora lá!

Passo 2

Para obter a equação característica, vamos considerar que a solução da EDO é dada por y = e r x , assim calculamos a primeira e a segunda derivada de y para substituir na equação.

Pela regra da cadeia, temos

y = e r x

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Substituindo y , y ' e y ' ' em a y ' ' + b y ' + c y = 0 , temos

a r 2 e r x + b r e r x + c e r x = 0

Colocando e r x em evidência, temos

e r x a r 2 + b r + c = 0

Para a igualdade ser satisfeita, a r 2 + b r + c obrigatoriamente deve ser 0 , já que e r x nunca é 0 .

a r 2 + b r + c = 0

E, portanto, se a solução y é dada por

y = c 1 e 2 x + c 2 e - 3 x

Logo, podemos afirmar que r 1 = 2 e r 2 = - 3 .

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo r 1 e r 2 na equação característica, temos

r = 2 → 4 a + 2 b + c = 0 r = - 3 → 9 a - 3 b + c = 0

Resolvendo esse sistema pelo método matricial, temos que

4 2 1 0 9 - 3 1 0 → 1 0 1 6 0 0 1 1 6 0

A primeira coluna está relacionada à variável a , a segunda relacionada à variável b e a terceira relacionada à c . Logo temos que

a = - c 6 b = - c 6

Assim, podemos ver que a = b .

Substituindo a e b por - c 6 na EDO, temos

- c 6 y ' ' - c 6 y ' + c y = 0

Colocamos c em evidência

c - 1 6 y ' ' - 1 6 y ' + y = 0

Como é uma equação, podemos dividir os dois lados por c , resultando em

c c - 1 6 y ' ' - 1 6 y ' + y = 0 c

- 1 6 y ' ' - 1 6 y ' + y = 0

Vamos simplificar, multiplicando os dois lados por 6 ...

- y ' ' - y ' + 6 y = 0

Dessa forma, descobrimos que a = b = - 1 e c = 6 .

Legal, né! 😉

Passo 4

Vamos verificar esses valores. Substituindo na equação característica, temos que obter as raízes 2 e - 3 , bora ver

a r 2 + b r + c = 0

- r 2 - r + 6 = 0

Por Bhaskara, temos

r 0 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 0 = - - 1 ± - 1 2 - 4 - 1 6 2 - 1

r 0 = 1 ± 1 + 24 - 2 = - 1 ± 25 2

Portanto, as raízes são

r 1 = - 1 + 25 2 = - 3

r 1 = - 1 - 25 2 = 2

Justamente as raízes que estávamos procurando! Então os valores de a , b e c estão corretos!

a = - 1 b = - 1 c = 6

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a = - 1 b = - 1 c = 6

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2