Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

b) y ( 4 ) + y ' ' = 0 ; 1 ,   x , c o s c o s   ( x )   , s i n s i n   ( x )   ,   ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e quatro funções, e pediu pra gente verificar se essas funções são solução da EDO. Mas como a gente faz isso?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes (LI) e elas tem que satisfazer a equação, que no caso é:

y 4 + y ' ' = 0

Então, o que a gente precisa fazer é derivar y 1 = 1 , y 2 = x , y 3 = c o s c o s   ( x )   e y 4 = s i n s i n   ( x )   , substituir na equação e ver se dar zero.

Depois, para verificar se as soluções são LI, nós calculamos o Wronskiano fazendo:

W = y 1   y 2   y 3   y 4   y 1 '   y 2 '   y 3 '   y 4 '   y 1 ' '   y 2 ' '   y 3 ' '   y 4 ' '   y 1 ' ' '   y 2 ' ' '   y 3 ' ' '   y 4 ' ' '  

Se ele for diferente de zero, as soluções são LI.

Por fim, basta montar a solução geral na forma:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de y 1 = 1 :

y 1 ' = 0

y 1 ' ' = 0

y 1 ' ' ' = 0

y 1 ( 4 ) = 0

Substituindo na EDO:

y 4 + y ' ' = 0

0 + 0 = 0

Então, y 1 é solução!

Passo 3

Agora vamos ver se y 2 = x é solução. Derivando:

y 2 ' = 1

y 2 ' ' = 0

y 2 ' ' ' = 0

y 2 ( 4 ) = 0

Substituindo na EDO:

y 4 + y ' ' = 0

0 + 0 = 0

Então, y 2 também é solução!

Passo 4

Conferindo se y 3 = c o s c o s   ( x )   é solução, temos:

y 3 ' = - s i n s i n   ( x )  

y 3 ' ' = - c o s c o s   ( x )  

y 3 ' ' ' = s i n s i n   ( x )  

y 3 ( 4 ) = c o s c o s   ( x )  

Substituindo na EDO:

y 4 + y ' ' = 0

c o s c o s   ( x )   - c o s c o s   ( x )   = 0

0 = 0

Então, y 3 também é solução!

Passo 5

Conferindo se y 4 = s i n s i n   ( x )   é solução, temos:

y 4 ' = c o s c o s   ( x )  

y 4 ' ' = - s i n s i n   ( x )  

y 4 ' ' ' = - c o s c o s   ( x )  

y 4 ( 4 ) = s i n s i n   ( x )  

Substituindo na EDO:

y 4 + y ' ' = 0

s i n s i n   ( x )   - s i n s i n   ( x )   = 0

0 = 0

Então, y 4 também é solução!

Passo 6

Agora só falta ver se as funções são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = y 1   y 2   y 3   y 4   y 1 '   y 2 '   y 3 '   y 4 '   y 1 ' '   y 2 ' '   y 3 ' '   y 4 ' '   y 1 ' ' '   y 2 ' ' '   y 3 ' ' '   y 4 ' ' '   = 1   x   c o s c o s   ( x )     s i n s i n   ( x )     0   1   ( x )     c o s c o s   ( x )     0   0   ( x )     - s i n s i n   ( x )     0   0   s i n s i n   ( x )     - c o s c o s   ( x )    

Pra calcular esse determinante, nós podemos fazer com que a matriz tenha uma forma escalonada. Já que o determinante da matriz transformada é igual ao determinante da matriz original.

Assim, multiplicando a terceira linha por s i n ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( x ) e somando com a quarta linha, temos:

W = 1   x   c o s c o s   ( x )     s i n s i n   ( x )     0   1   ( x )     c o s c o s   ( x )     0   0   ( x )     - s i n s i n   ( x )     0   0   0   - 1 c o s ⁡ ( x )  

Multiplicando os elementos da diagonal principal, temos o determinante (pelo método da eliminação de Gauss):

W = 1 ∙ 1 ∙ - c o s c o s   x   ∙ - 1 c o s c o s   x  

W = 1

Como 1 ≠ 0 , o conjunto é LI e, portanto, um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Dessa forma, nossa solução geral é dada por:

y = c 1 + c 2 x + c 3 c o s ⁡ ( x ) + c 4 s i n ⁡ ( x )

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 x + c 3 c o s ⁡ ( x ) + c 4 s i n ⁡ ( x )

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