Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

b )   y 2 = 2 C x + C 2   é solução de y d y d x 2 + 2 x d y d x - y = 0

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial

y d y d x 2 + 2 x d y d x - y = 0

E pediu para mostrar que essa função

y 2 = 2 C x + C 2  

É solução da equação!

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar que para uma função ser solução da equação diferencial, quando derivada e substituída na equação vamos encontrar uma verdade matemática!

Beleza?

E é isso que vamos fazer!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa equação

y d y d x 2 + 2 x d y d x - y = 0

Nossa função

y 2 = 2 C x + C 2 → y = 2 C x + C 2  

Derivando temos

2 y d y d x = 2 C → d y d x = C y

Beleza?

Agora é só substituir!

Passo 3

Agora vamos substituir a função e a derivada na equação diferencial

y d y d x 2 + 2 x d y d x - y = 0

2 C x + C 2 C y     2 + 2 x C y - 2 C x + C 2 = 0

Resolvendo temos

C 2 2 C x + C 2 2 C x + C 2 + 2 x C 2 C x + C 2 - 2 C x + C 2 = 0

C 2 2 C x + C 2 + 2 x C 2 C x + C 2 - 2 C x + C 2 2 C x + C 2 2 ( 2 C x + C 2 ) 2 C x + C 2 = 0

2 C 3 x + C 4 + 4 x 2 C 2 + 2 x C 3 - 4 x 2 C 2 - C 4 - 2 C 3 x ( 2 C x + C 2 ) 2 C x + C 2

0 = 0

Oba! Encontramos uma verdade matemática!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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