Determine a solução de cada um dos seguintes PVI’s:

(c) 6 y ' ' - 5 y ' + y = 0 ,     y 0 = - 2 e y ' 0 = 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem. E quando temos uma EDO desse tipo, que tem a forma geral:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Nós vamos encontrar a solução geral y ( x ) resolvendo a equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

Assim, quando descobrimos as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar, encontramos a solução y ( x ) de acordo com as condições:

- Se tivermos duas raízes reais e distintas ( r 1 ≠ r 2 ), nossa solução terá a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

- Se tivermos duas raízes reais e iguais ( r 1 = r 2 = r ), nossa solução é do tipo:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

- E se temos raízes complexas ( r = α ± β i ), nossa solução terá a forma:

y x = e α x ( c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ ( β x ) )

Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e substituir os valores dados no PVI para encontrar as constante c 1 e c 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação auxiliar da nossa EDO:

6 y ' ' - 5 y ' + y = 0

Como a = 6 , b = - 5 e c = 1 , nossa equação auxiliar será:

a r 2 + b r + c = 0

6 r 2 - 5 r + 1 = 0

Usando Bháskara para encontrar as raízes da equação, temos:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - ( - 5 ) ± 25 - 4 ( 6 ) ( 1 ) 2 ( 6 ) = 5 ± 1 1 2

Então, nossas raízes serão:

r 1 = 5 + 1 1 2 = 6 12 = 1 2

r 2 = 5 - 1 1 2 = 4 12 = 1 3

Passo 3

Repare que temos raízes reais e distintas, então como vimos lá no passo 1 , nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Substituindo   r 1 = 1 2 e r 2 = 1 3 , temos:

y x = c 1 e x / 2 + c 2 e x / 3

Passo 4

Agora vamos descobrir o valor das constantes c 1 e c 2 usando as condições iniciais y 0 = - 2 e y ' 0 = 3 . Então, substituindo x = 0 e y = - 2 na solução geral, temos:

- 2 = c 1 e 0 / 2 + c 2 e 0 / 3

- 2 = c 1 + c 2

Agora vamos derivar a solução geral para obter:

y ' = 1 2 c 1 e x / 2 + 1 3 c 2 e x / 3

Então substituindo x = 0 e y ' = 3 , temos:

3 = 1 2 c 1 e 0 / 2 + 1 3 c 2 e 0 / 3

1 2 c 1 + 1 3 c 2 = 3

Resolvendo o sistema:

c 1 + c 2 = - 2 1 2 c 1 + 1 3 c 2 = 3

Encontramos:

c 1 = 22   e   c 2 = - 24

Portanto, nossa solução será:

y x = c 1 e x / 2 + c 2 e x / 3 )

y x = 22 e x / 2 - 24 e x / 3

Essa é a solução geral da nossa EDO.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = 22 e x / 2 - 24 e x / 3

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Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2