Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:

4 y ' ' - 9 y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Observando nossa EDO, nós vemos que ela é uma EDO de segunda ordem homogênea, o que já facilita pra gente. Porque nós sabemos que quando tivermos uma EDO do tipo:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Nós vamos encontrar a seguinte equação auxiliar (ou equação característica):

a r 2 + b r + c = 0

E depois que descobrimos o r encontramos o y ( x ) . Dependendo das raízes que encontrarmos nessa equação do segundo grau, vamos ter tipos de soluções diferentes. Vamos ver!

Passo 2

A nossa equação diferencial é:

4 y ' ' - 9 y = 0

O que nos dá equação característica:

4 r 2 - 9 = 0

As raízes são obtidas através de:

r = - b ± Δ 2 a

E o discriminante é dado por:

Δ = b 2 - 4 a c

E aí, relembrando rapidamente,

Caso Δ > 0 , teremos duas raízes reais e distintas ( r 1 ≠ r 2 ) e solução na forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Caso Δ = 0 , teremos duas raízes reais e iguais ( r 1 = r 2 ) e solução:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 x e r 2 x

Caso Δ < 0 , teremos duas raízes complexas ( r = α ± β i ) e:

y x = e α x c 1 cos ⁡ ( β x ) + c 2 sin ⁡ ( β x )

Vamos ver em qual tipo nossa EDO se encaixa.

Passo 3

Calculando o delta para 4 r 2 - 9 = 0 , temos:

Δ = 0 2 - 4 ∙ 4 ∙ ( - 9 ) = 144

Delta é positivo, ou seja Δ > 0 . Logo, teremos duas raízes reais e distintas. Calculando as raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - 0 ± 144 2 ∙ 4 = ± 12 8 = ± 3 2

Ou seja, temos r 1 = 3 / 2 e r 2 = - 3 / 2 . E nossa solução tem a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Substituindo as raízes:

y x = c 1 e 3 2 x + c 2 e - 3 2 x

E achamos nossa solução. Valeu, galera! 😉

Resposta

y x = c 1 e 3 2 x + c 2 e - 3 2 x

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